РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 611 Добавить в вариант

Можно ли расставить в прямоугольной таблице $100\times 10$ числа от 0 до 999 (каждое по одному разу) так, чтобы в каждом квадратике $2\times 2$ сумма чисел была бы одинаковой?

Решение.

Искомая таблица получается как сумма двух таблиц. Первая таблица выглядит так.

В этой таблице любое число, вместе со своим соседним по горизонтали даёт в сумме 99, так что в любом квадрате $2 \times 2$ сумма равна 198.

В этой таблице любое число, вместе со своим соседним по вертикали даёт в сумме 900, так что в любом квадрате $2 \times 2$ сумма равна 1800. При суммировании этих таблиц сумма в каждом квадрате $2 \times 2$ будет очевидно составлять 1998.

Осталось понять, что в таблице встретятся все числа. Рассмотрим расстановку какого-то числа вида $100 k$ во второй таблице. Это число расположено в двух соседних столбцах на клетках, которые при шахматной раскраске оказываются одного цвета. При этом в первой таблице в этих двух столбцах встречаются все числа от 0 до 99, причём каждое один раз на чёрной клетке и один раз на белой. Значит, число $100 k$ будет просуммировано с каждым числом от 0 до 99 ровно один раз. Таким образом, у нас получатся все числа от $100 k$ до $100 k плюс 99$ каждое по разу, а значит, во всей таблице получатся все числа от 0 до 999.

Ответ: да, можно.

Критерии проверки:

Только ответ «Да» без примера или с неверным примером — 0 баллов. Полный балл складывается из:

1) Правильный пример — 2 балла.

2) Обоснование того, что в примере выполняется условие для квадратиков $2 \times 2$  — 1 балл.

3) Обоснование того, в примере встречаются все числа от 0 до 9999 (999 во втором варианте) 1 балл.

Если обоснование какого-либо из условий очевидно следует из примера, жюри вправе не снимать баллы за отсутствие этого обоснования. Например, приведённый в авторском решении пример при отсутствии обоих обоснований следовало бы оценить в $2 плюс 1 плюс 0=3$ балла, так как выполнение первого условия для этого примера очевидно, а выполнение второго — нет. Участник не обязан писать явную формулу для каждой клетки таблицы, описания построения таблицы, сходного по строгости с приведённым в авторском решении, достаточно.

Если приведён пример без обоснования и жюри не может за разумное время определить его правильность, жюри вправе поставить за такой пример 0 баллов. Однако, если участник сможет на апелляции объяснить верность своего примера, он должен получить свои 2 балла.

Аналоги к заданию № 605: 611 Все

Решение · Критерии · Помощь