Можно ли расставить в прямоугольной таблице числа от 0 до 999 (каждое по одному разу) так, чтобы в каждом квадратике сумма чисел была бы одинаковой?
Искомая таблица получается как сумма двух таблиц. Первая таблица выглядит так.
В этой таблице любое число, вместе со своим соседним по горизонтали даёт в сумме 99, так что в любом квадрате сумма равна 198.
В этой таблице любое число, вместе со своим соседним по вертикали даёт в сумме 900, так что в любом квадрате сумма равна 1800. При суммировании этих таблиц сумма в каждом квадрате будет очевидно составлять 1998.
Осталось понять, что в таблице встретятся все числа. Рассмотрим расстановку какого-то числа вида во второй таблице. Это число расположено в двух соседних столбцах на клетках, которые при шахматной раскраске оказываются одного цвета. При этом в первой таблице в этих двух столбцах встречаются все числа от 0 до 99, причём каждое один раз на чёрной клетке и один раз на белой. Значит,
Ответ: да, можно.