сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Можно ли рас­ста­вить в пря­мо­уголь­ной таб­ли­це 100\times 10 числа от 0 до 999 (каж­дое по од­но­му разу) так, чтобы в каж­дом квад­ра­ти­ке 2\times 2 сумма чисел была бы оди­на­ко­вой?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ис­ко­мая таб­ли­ца по­лу­ча­ет­ся как сумма двух таб­лиц. Пер­вая таб­ли­ца вы­гля­дит так.

В этой таб­ли­це любое число, вме­сте со своим со­сед­ним по го­ри­зон­та­ли даёт в сумме 99, так что в любом квад­ра­те 2 \times 2 сумма равна 198.

В этой таб­ли­це любое число, вме­сте со своим со­сед­ним по вер­ти­ка­ли даёт в сумме 900, так что в любом квад­ра­те 2 \times 2 сумма равна 1800. При сум­ми­ро­ва­нии этих таб­лиц сумма в каж­дом квад­ра­те 2 \times 2 будет оче­вид­но со­став­лять 1998.

Оста­лось по­нять, что в таб­ли­це встре­тят­ся все числа. Рас­смот­рим рас­ста­нов­ку ка­ко­го-то числа вида 100 k во вто­рой таб­ли­це. Это число рас­по­ло­же­но в двух со­сед­них столб­цах на клет­ках, ко­то­рые при шах­мат­ной рас­крас­ке ока­зы­ва­ют­ся од­но­го цвета. При этом в пер­вой таб­ли­це в этих двух столб­цах встре­ча­ют­ся все числа от 0 до 99, причём каж­дое один раз на чёрной клет­ке и один раз на белой. Зна­чит, число 100 k будет про­сум­ми­ро­ва­но с каж­дым чис­лом от 0 до 99 ровно один раз. Таким об­ра­зом, у нас по­лу­чат­ся все числа от 100 k до 100 k плюс 99 каж­дое по разу, а зна­чит, во всей таб­ли­це по­лу­чат­ся все числа от 0 до 999.

 

Ответ: да, можно.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Толь­ко ответ «Да» без при­ме­ра или с не­вер­ным при­ме­ром — 0 бал­лов. Пол­ный балл скла­ды­ва­ет­ся из:

1) Пра­виль­ный при­мер — 2 балла.

2) Обос­но­ва­ние того, что в при­ме­ре вы­пол­ня­ет­ся усло­вие для квад­ра­ти­ков 2 \times 2 — 1 балл.

3) Обос­но­ва­ние того, в при­ме­ре встре­ча­ют­ся все числа от 0 до 9999 (999 во вто­ром ва­ри­ан­те) 1 балл.

Если обос­но­ва­ние ка­ко­го-либо из усло­вий оче­вид­но сле­ду­ет из при­ме­ра, жюри впра­ве не сни­мать баллы за от­сут­ствие этого обос­но­ва­ния. На­при­мер, при­ведённый в ав­тор­ском ре­ше­нии при­мер при от­сут­ствии обоих обос­но­ва­ний сле­до­ва­ло бы оце­нить в 2 плюс 1 плюс 0=3 балла, так как вы­пол­не­ние пер­во­го усло­вия для этого при­ме­ра оче­вид­но, а вы­пол­не­ние вто­ро­го — нет. Участ­ник не обя­зан пи­сать явную фор­му­лу для каж­дой клет­ки таб­ли­цы, опи­са­ния по­стро­е­ния таб­ли­цы, сход­но­го по стро­го­сти с при­ведённым в ав­тор­ском ре­ше­нии, до­ста­точ­но.

Если при­ведён при­мер без обос­но­ва­ния и жюри не может за ра­зум­ное время опре­де­лить его пра­виль­ность, жюри впра­ве по­ста­вить за такой при­мер 0 бал­лов. Од­на­ко, если участ­ник смо­жет на апел­ля­ции объ­яс­нить вер­ность сво­е­го при­ме­ра, он дол­жен по­лу­чить свои 2 балла.


Аналоги к заданию № 605: 611 Все