Всего: 328 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
Сколько треугольников с целыми сторонами имеют периметр, равный 2017? (Треугольники, отличающиеся только порядком сторон — например, 17, 1000, 1000 и 1000, 1000, 17 — считаются за один треугольник.)
Тогда меньшая сторона a не превосходит 
Тогда для 
будет получаться по k треугольников, всего 
будет получаться по 
треугольников, всего 
при 
336
треугольников, всего 
Решите в натуральных числах уравнение 
где 
В ответе укажите 0, если решений нет, n, если решение одно, сумму значений n для всех решений, если решений несколько. Напомним, что решением является тройка (n, k, l); если решения отличаются хотя бы в одной компоненте, они считаются разными.
и 
Если 
то 
то получаем 
—
то уравнение 
имеет два решения: 
и 
если 
то уравнение 
даёт еще̄ одно решение 
(3, 1, 2), (3, 2, 1), (4; 3; 3)).
при этом 
Найдите периметр треугольника ABC.
Пусть O — точка пересечения MB и CH, тогда 
Обозначим 
тогда 
поэтому 
Следовательно, треугольник и 
и 
подобны по двум углам. Из подобия получаем 
Подставляя это в формулу 
и сокращая на 
Следовательно, треугольник ABC равносторонний.
и пусть 
и 
Тогда 
Значит, 
Учитывая, что a и b — двузначные числа, получаем, что сумма будет наибольшей для 
и 
Их среднее арифметическое равно 
а на его гранях — числа, равные произведению чисел, стоящих в вершине этой грани. Найдите все возможные значения, которые может принимать сумма этих 14 чисел. В ответе укажите их произведение.Функции f (x) и g (x) определены для всех 
f (x) равна большему из x и 1/x, а g (x) равна меньшему из чисел x и 1/x. Решите уравнение 
В ответе укажите решение, если оно одно, или сумму решений, если их несколько. Ответ при необходимости округлите до сотых.
Tогда 
Tогда 
Tогда 
что не удовлетворяет условию 
Tогда 
что не удовлетворяет условию 
и 
сумма которых равна 
можно представить в виде 
Кроме того, чётное число, кратное 4, можно представить как 
Заметим, что квадрат может давать остатки 0 или 1 при делении на 4, поэтому числа вида 
нельзя получить как разность квадратов. Таких чисел (вида 
ровно одно в каждой четвёрке последовательных чисел, следовательно, всего таких чисел от 1 до 1000 будет 
справа приписывают 1. Если n оканчивается а 1 и приписывают 0, то к an справа приписывают 0. В остальных случаях an не меняется (когда к 0 приписывают 0 или к 1 приписывают 1). Запишем в двоичной системе число 
Проверяя первые несколько значений, найдем 
На координатной плоскости изображен равнобедренный прямоугольный треугольник с вершинами в точках с целыми координатами. Известно, что на сторонах треугольника (включая вершины) находится ровно 2019 точек с целыми координатами. Какова наименьшая возможная длина гипотенузы треугольника при этих условиях? В ответе укажите длину гипотенузы, округленную до ближайшего целого числа.
Тогда каждый катет имеет длину 673, а гипотенуза равна 
Найдите число, которое удалили.
Пусть удалили число m, где 
Тогда условие задачи можно записать в виде 
поэтому если n чётно, то 
а если нечётно, то 
В первом случае получаем 
откуда 
—
то есть 
Если 200-й день какого-то года воскресенье и 100-й день следующего за ним года — тоже воскресенье, то каким днем недели был 300-й день предыдущего года? В ответ впишите номер этого дня недели (если понедельник, то 1, если вторник, то 2, и т. д.).
либо 
дней. Число 266 кратно 7, число 265 — нет. Поэтому в текущем году 366 дней, то есть он високосный. Значит, предыдущий год был обычным. Поэтому между 300-м днём предыдущего года и 200-м днём текущего 
дней. Так как 
то количество дней Если 300-й день какого-то года воскресенье и 200-й день следующего за ним года — тоже воскресенье, то каким днем недели был 100-й день предыдущего года? В ответ впишите номер этого дня недели (если понедельник, то 1, если вторник, то 2, и т. д.).
раскрыть скобки и привести подобные члены?
для всех целых 
с положительными коэффициентами 
то есть всего 
слагаемых.
раскрыть скобки и привести подобные члены?Знайка вырезал из бумаги полукруг. Незнайка отметил на диаметре AB этого полукруга точку D и отрезал от полукруга Знайки два полукруг с диаметрами AD и DB. Найдите площадь оставшейся фигуры, если длина лежащей внутри нее части хорды, проходящей через точку D перпендикулярно AB, равна 6. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
получаем, что 
то 
следовательно, 
Знайка вырезал из бумаги полукруг. Незнайка отметил на диаметре AB этого полукруга точку C и отрезал от полукруга Знайки два полукруг с диаметрами AC и CB. Найдите площадь оставшейся фигуры, если длина лежащей внутри нее части хорды, проходящей через точку C перпендикулярно AB, равна 8. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
).
вместо x. Вместе с исходным равенством получим систему из двух линейных уравнений относительно 
и 
находим 
Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми равно 10 км, в 7:00 выехал автомобиль. Проехав 2/3 пути, автомобиль миновал пункт C, из которого в этот момент в пункт A выехал велосипедист. Как только автомобиль прибыл в B, оттуда в обратном направлении сразу же выехал автобус и прибыл в A в 9:00. В скольких километрах от B автобус догнал велосипедиста, если велосипедист прибыл в пункт в 10:00 и скорость каждого участника движения постоянна?
тогда по теореме Фалеса 
то 
а 
Откуда (опять по теореме Фалеса) 
Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми равно 20 км, в 10:00 выехал автомобиль. Проехав 2/3 пути, автомобиль миновал пункт C, из которого в этот момент в пункт A выехал велосипедист. Как только автомобиль прибыл в B, оттуда в обратном направлении сразу же выехал автобус, который догнал велосипедиста на расстоянии 12 км от B и прибыл в A в 12:00. На сколько минут позже автобуса в пункт A прибыл велосипедист, если скорость каждого участника движения постоянна?