Всего: 33 1–20 | 21–33
Добавить в вариант
проведены биссектрисы AA1, BB1, CC1. Отрезок A1B1 пересекает биссектрису CC1 в точке M. Найти градусную меру угла B1BM.
а значит точка A1 равноудалена от сторон B1B и BK. Учитывая, что точка A1 лежит на биссектрисе 
а значит и равноудалена от его сторон получаем, что A1 равноудалена от сторон B1B и B1C, а значит лежит на биссектрисе 
Таким образом, B1A1 — биссектриса 
следовательно, 
Найдите площадь треугольника AEF. Результат округлите до десятых (все промежуточные вычисления проводить точно).
и 
вычислим величину углов 
Эти углы являются внешними для треугольника AOC. И, значит, 
(радиуc вписанной окружности). Имеем 
и 
треугольники FOL и KOE равны, и 
и 
тогда
Известно, что угол BMC равен 60°. Докажите, что 
Тогда треугольник DMA — равносторонний. Заметим теперь, что 
а 
Получаем, что треугольники ADC и BMK равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, 
Вне треугольника ABC взята такая точка E, что 
и точки B и E находятся в разных полуплоскостях относительно AC. Докажите, что 
где F — середина отрезка BE.
и 
Следовательно, 
повернуть на 90° против часовой стрелки, а затем умножить на 
то получится вектор, равный вектору 
Аналогично, если вектор 
повернуть на 90° против часовой стрелки, а затем умножить на 
По теореме о средней линии для треугольника BCE имеем 
и 
Поэтому при повороте на 
против часовой стрелки и последующем умножении на 
вектор 
вектор 
—
при таком преобразовании перейдет в равный вектору 
Значит, векторы 
и 
перпендикулярны, то есть 
Что и требовалось доказать.На стороне АС равностороннего треугольника АВС как на диаметре во внешнюю сторону построен полукруг, разделенный точками Р и Q на три равных дуги. Докажите, что точки пересечения M и N стороны АС с отрезками ВР и ВQ соответственно делят АС на три одинаковых отрезка.
Углы ОАР и ОСB равны 60 градусам, поэтому отрезки АP и ВС параллельны, следовательно, четырёхугольник АРCB — трапеция и треугольники AMP и ВМС подобны с коэффициентом 
длины AC. Аналогично и длина CN равна 
Следовательно, точка М делит отрезок НО в отношении 
поэтому длина НM равна трети от НО, то есть 1. Значит, длина АM равна сумме длин 
и 
то есть 4. Аналогично 
значит, и 
что и требовалось доказать.
3 балла.В окружность вписан равносторонний треугольник ABC. На дуге AB, не содержащей точки C, выбрана точка M, отличная от точек A и B. Пусть прямые AC и BM пересекаются в точке K, а прямые BC и AM — в точке N. Докажите, что произведение длин отрезков AK и BN не зависит от выбора точки N.
Пусть 
Тогда в треугольнике KAB: 
и 
Следовательно, эти треугольники подобны, и 
не зависит от положения точки M.
Действительно, они имеют общий угол и 
и 
соответственно. Тогда 
Точка P — середина отрезка MN, точка Q — середина стороны AC. Угол при вершине B треугольника ABC равен 60°. Найти длину отрезка PQ.
и 
Прямая MN является диагональю параллелограмма и ее середина — точка P — принадлежит второй диагонали EF. Треугольник EQF равнобедренный: 
и его медиана QP является медианой и высотой. Угол MQF равен углу ABC, как углы с параллельными сторонами. Тогда треугольник EPQ прямоугольный с гипотенузой a и острым углом α: 
Возвращаясь замене переменной получаем ответ.
Угол при вершине A остроугольного треугольника ABC равен 60°. Через вершины B и C проведены прямые, перпендикулярные сторонам AB и AC соответственно, пересекающиеся в точке D. Через вершину B проведена прямая, перпендикулярная прямой AD и пересекающая сторону AC в точке M. Длины отрезков MA и MC равны 15 и 1 соответственно. Найти длину стороны BC.
тогда 
и 
Следовательно, угол ABM равен углу BCA. 
проведены биссектрисы AA1, BB1, CC1. Отрезок A1 B1 пересекает биссектрису CC1 в точке М. Найти градусную меру угла B1BM.
и 
соответственно. 
следовательно, треугольник FAO — прямоугольный. По теореме Пифагора найдем FO: 
и 
соответственно по теореме о свойстве двух касательных к окружности, тогда имеем 
при вершине K. В треугольники AKL и AKM вписаны окружности с центрами F и O соответственно. Найти радиус окружности, описанной около треугольника FKO, если AO = 6, AF = 3.
т. е. треугольник FAO — прямоугольный.
В треугольнике ABC провели биссектрису BL и оказалось, что 
Зная, что 
найдите угол BAC (ответ дайте в градусах).
On the side AC of the triangle ABC there is a point L such that 
and BL is a bisector of 
Find angle BAC (give your answer in degrees).
Тогда 
Значит, 
So, 
