На стороне АС равностороннего треугольника АВС как на диаметре во внешнюю сторону построен полукруг, разделенный точками Р и Q на три равных дуги. Докажите, что точки пересечения M и N стороны АС с отрезками ВР и ВQ соответственно делят АС на три одинаковых отрезка.
Докажем задачу двумя способами.
Способ I. Отметим середину O стороны AC и будем считать длину AC равной 12, а точку P расположенной ближе к А, чем к С. Треугольник AOP равнобедренный с углом 60 градусов при вершине О. Следовательно, AOP — равносторонний со стороной длины 6, он подобен АВС с коэффициентом 
Углы ОАР и ОСB равны 60 градусам, поэтому отрезки АP и ВС параллельны, следовательно, четырёхугольник АРCB — трапеция и треугольники AMP и ВМС подобны с коэффициентом
Значит, точка М делит АС в отношении 1 : 2 и длина AM равна 
длины AC. Аналогично и длина CN равна длины AC, поэтому точки M и N делят AC на три одинаковых отрезка.
Способ II. (Идея та же, но воплощение длиннее). Отметим середину O стороны АС и будем считать длину АС равной 12, а точку P расположенной ближе к А, чем к С. Треугольник АОР равнобедренный с углом 60 градусов при вершине О. Следовательно, АОР — равносторонний со стороной длины 6, он подобен АВС с коэффициентом Опустим из Р высоту PH на АО, тогда H — середина АО. Прямоугольные треугольники MPH и МВО тоже подобны по двум углам с коэффициентом 
Следовательно, точка М делит отрезок НО в отношении 
поэтому длина НM равна трети от НО, то есть 1. Значит, длина АM равна сумме длин 
и 
то есть 4. Аналогично 
значит, и 
что и требовалось доказать.
3 балла.