Поиск
?
Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71
Добавить в вариант
определяются по правилу: для каждого натурального m 
где 
— наименьшее простое число, не делящее 
Первый член последовательности 
Найти m, для которого 
поскольку 
Докажите, что любые два различных члена последовательности взаимно просты.
Докажем, что 
можно представить в виде 
имеем 
Для 
получим 
при 
тогда при 
будем иметь 
имеет вид 
Из последнего соотношения следует, что если НОД 
то и 1 делится на d и, следовательно, 
то есть an и 
Докажем, что числа, большие 10, не годятся. Пусть n — число, большее 10. Заметим, что числа 3, 5, 7 дают разные остатки при делении на 3. Тогда числа n − 3, n – 5, n – 7 дают разные остатки при делении на 3, значит, одно из них делится на 3. Осталось заметить, что это число больше, чем 3, поэтому оно составное. Противоречие.
делится на 
при любом натуральном n, получим что 2S делится на 2017. Поскольку 2 и 2017 взаимно просты, на 2017 делится S.
делится на 2018, но 
очевидно не делится на 2018. Следовательно, 2S не делится на 2018, откуда и S не делится на 2018.
где p1 и p2 — различные простые числа; 2) 
3) 
Найдите все такие A и B.
По условию 
и 
содержат только степени чисел p1 и p2. Кроме того, число 
Следовательно, возможны только три случая:
Тогда 
и 
что невозможно; 
Следовательно, 
Или 
и 
37, что неверно, или 
и 
Отсюда 
следовательно, 
следовательно, 
следовательно, 
простые. Докажите, что число 
тоже простое.
то число 
четное, что противоречит условию. Пусть 
Тогда число 
может и оказаться простым. Убедимся, что для любого другого простого p число 
то остаток от деления числа p на 3 равен либо 1, либо 2. Но остаток от деления числа p2018 на 3 в любом случае будет равен 1 (поскольку 
а число p2 всегда дает остаток 1 при делении на 3). Тогда 
—
—
Найдите все такие числа p1, p2, p3. Ответ обоснуйте.
Тогда 
и 
чего быть не может; 
и 
(с точностью до переобозначений). И так как 
из чисел 
и 
одно делится на 3. А в силу простоты чисел p1 и p2 одно равно 3. Непосредственно проверяется, что p2 не может равняться 3. Отсюда 
либо 
По условию 
Значит, 
Следовательно, числа в левой части (1) различны и отличны от 1. Поэтому 
Поскольку p на 3 не делится, возможны случаи: 
Такое возможно только, когда 
так как число 
простое. Отсюда 
Значит, 
что невозможно. 
(при условии 
то есть 
или 
следовательно, 
отсюда 
и 
или 
то есть 
или 
получаем, что 
или 
где 
получаем 
или 
то есть 
простое. Через n обозначим наименьший делитель числа 
отличный от 1, а через m — другой делитель, ближайший к n. Найти n · m.
и разложим левую часть на множители: 
и 
являются степенями простого числа p. Но 
то 
или 
во втором 
является квадратом натурального числа.
для некоторого натурального n. Тогда 
и 
Число 
больше и p, и q, поэтому первые три случая невозможны. Стало быть, 
и 
Таким образом, 
Следовательно, 
и, значит, 
Тогда 
или 
Из них простыми числами будут только 3, 5, 7 и 13. Соответствующими им q будут −7, 11, 5 и 3. Поэтому первый вариант не подходит, а остальные подходят.
посчитали число 
и все полученные числа сложили. Докажите, что их сумма меньше 4.
штук. Ясно, что любое число отмечено не более чем три раза, поэтому 
1, ведь в этом случае S(x) и L(x) не существуют. Любая родственная пара m и n является решением системы 
Заметим, что если число x простое, то 
Это означает, что числа m и n не могут быть одновременно простыми. Действительно, ведь тогда 
и 
что невозможно. Если число m является простым, то 
и тогда 
Как было доказано, число n не может быть простым, тогда n составное и 
Если 
то 
и 
Но тогда 
что невозможно. Значит, 
и 
откуда 
и тогда 
Число n не может быть простым, так как тогда 
В вершинах правильного двенадцатиугольника в некотором порядке расставили натуральные числа от 1 до 12 (каждое по одному разу). Могло ли случиться так, что суммы всех пар соседних чисел являются простыми и суммы всех пар чисел, между которыми стоят ровно два числа, тоже являются простыми?
Для каждого Колиного числа ai отметим все числа от 1 до n2, кратные ai — таких чисел ровно 
штук. Ясно, что любое число отмечено не более чем один раз, поэтому 
либо k, либо S делится на р. Ясно, что 
поэтому S кратно p. Пусть самая левая группа состоит из чисел от 1 до m. Тогда 
кратно p, откуда 
то есть 
Но это значит, что сумма чисел от 1 до p – 1 равна p что возможно лишь при 
—
является натуральным?
бесконечно много. Докажем её. Предположим, что простых чисел вида 
Число 
не делится на простые числа 
и даёт остаток 2 при делении на 3. Значит, среди его простых делителей должно быть число вида 
Значит, число 
и 
Случай 
невозможен, так как тогда число 
и 
то 
что невозможно. Если же 
то 
и 
а значит 
что невозможно. Следовательно, 
Предположим теперь, что нашлись числа 
и 
с различными ненулевыми остатками при делении на 3, то есть 
Поскольку число 
является натуральным, то 
—
Но тогда 
что невозможно, так как квадраты имеют остатки 0 или 1 при делении на 3. B итоге мы доказали, что числа с остатками 1 и 2 при делении на 3 не могут быть соседними.
это означает, что после 
стоят несколько чисел с остатком 2 при делении на 3, затем где-то стоит число 3. Если после тройки стоит число с остатком 2 при делении на 3, то все числа далее будут с таким же остатком и в последовательности простых чисел не будет ни одного числа с остатком 1 при делении на 3 (такие есть, например, число 7). Следовательно, после тройки стоит число с остатком 1 при делении на 3 и все числа за ним имеют такой же остаток. Но тогда до тройки стоит лишь конечное число простых чисел с остатком 2 при делении на 3, что противоречит доказанной лемме. Следовательно, так расставить числа нельзя. 
но невозможность этого случая не доказана.
при 
Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71
посчитали число 
и все полученные числа сложили. Докажите, их сумма меньше 2.
кратные 
таких чисел ровно 
штук. Ясно, что любое число отмечено не более одного раза, поэтому 