Поиск
?
Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71
Добавить в вариант
и 
Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 2. Получим 
Таким образом, из условия о простоте числа х следует, что 
и, значит, 
Тогда 
— квадрат простого числа.
получаем 
откуда 
При этом 
то есть является квадратом простого числа. Если
В этом случае также получаем квадрат простого числа.Даны два взаимно простых натуральных числа p и q, отличающиеся больше, чем на единицу.
а) Докажите, что существует натуральное n, для которого числа p + n и q + n не будут взаимно простыми.
б) Найдите наименьшее такое n при p = 2, q = 2023.
Заметим, что p + n и q + n при любом фиксированном n дают одинаковые остатки от деления на m, поскольку их разность постоянна и равна 
При изменении n от 1 до m эти остатки пробегают все возможные m значений (начиная с 
Значит, при некотором n < m получится нулевой остаток, т. е. оба числа 
и 
будут делиться на m, и тем самым, не будут взаимно простыми.
тоже делится на k и поэтому k не меньше наименьшего простого делителя числа m. Для p = 2, q = 2023 имеем 
—
—
поэтому искомое число n будет меньше, чем 
Поэтому 
и/или 
и/или аналогичноеДва простых числа называются последовательными, если не существует простого числа, которое больше одного из них, и меньшего другого. Докажите, что сумму любых двух последовательных простых нечётных чисел всегда можно представить в виде произведения трёх натуральных сомножителей, каждый из которых больше единицы.
большее единицы, не является простым, то, разложив его на два неединичных множителя, получим требуемое в условии представление S в виде произведения трёх натуральных сомножителей, каждый из которых больше единицы. Если же число 
является простым, то 
поэтому оно будет простым числом, лежащим между последовательными p и q, что противоречит условию задачи.
: минус 1 балл.
и положим 
Тогда 
—
должно делиться на p, в частности, 
Таким образом, 
Аналогично получаем, что 
и, значит, a = b.
и положим
Следовательно, 
также делится на d. Но 
поэтому на d делится и
и 
являются удвоенными квадратами натуральных чисел.
и 
тогда
либо 
кратно p. Из неравенства 
следует, что 
Таким образом, имеем систему из двух уравнений 
и 
решая ее, находим 
и, значит, 
Следовательно, p = 7.
и 
тогда
не является удвоенным квадратом. Если y – x делится на p, то 
и, значит,
то 
откуда 
и, значит, 
Стало быть,
Тогда p – 2 является степенью двойки и, значит, p = 3 и r = 7. Если r = 2, то соотношение (⁎) принимает вид 
откуда q = 3 и p = 7. Будем дальше считать, что q и r — нечетные простые числа. Но тогда и p нечетно, поскольку иначе левая часть (⁎) отрицательна. Следовательно, 
и p – q — четные числа, поэтому 
и 
Если q = 3, то p = 5 и r = 5. Если же 
то поскольку p и q не делятся на 3 и 
имеет вид 
но тогда 
что невозможно.
Домножим на знаменатели и перепишем соотношение в виде 
Отсюда, в частности, получаем, что 
делится на p – q. Следовательно, 
также делится на p – q. С другой стороны, 
также делится на p – q. Таким образом, на p – q делится и наибольший общий делитель чисел 4p и 4q, но этот делитель равен 4. Стало быть возможны лишь три случая: 
Отметим сразу, что во втором и третьем случаях 
и, в частности, p не делится на три.
и тогда
и тогда
и 
—
Тогда
и, значит, 
С другой стороны, 
Но 
и 
следовательно, 
и 
Поскольку 
не удовлетворяют условиям задачи, простое число 
также нечетно и, значит, число 
четно. Но оно является произведением двух простых чисел 
поэтому 
и 
Стало быть, 
откуда 
и, значит, a = 2. Легко видеть, что тройка a = 2, b = 1 и c = 3 удовлетворяет условию задачи.
105, 117, ... — арифметическая прогрессия с разностью 12. Количество этих чисел тоже можно найти с помощью решения неравенства
Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71
и 
Найдите p, q и r.
откуда 
Значит, учитывая, что