Всего: 84 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–84
Добавить в вариант
и 
Следовательно, делитель равен 9.
и 
Поделив эти числа на 729 и 243 с остатком выясняем, что остаток всегда 96.
на 9, если 
если p — простое число. Следовательно, 
т. е. остаток от деления на 11 числа А равен 2. а) Даны натуральные числа a и b, такие, что 
и 
дают одинаковые остатки при делении на 10. Верно ли, что сами числа a и b дают одинаковые остатки при делении на 10?
б) Верно ли, что натуральные числа a, b и c дают одинаковые остатки при делении на 10, если три числа 
и 
дают одинаковые остатки при делении на 10?
и 
тогда оба числа 
и 
Уменьшая каждое из чисел 
и 
на s, получим числа a – c, b – a, c – b (некоторые из них могут быть отрицательными), причём у этих чисел одинаковый остаток, скажем x, при делении на 10. Заметим, что сумма чисел a – b, b – c, c – a равна нулю, а с другой стороны, сумма их остатков при делении на 10 равна 3x. Значит, 
будет соответствовать 17 баллам.
стоящие на местах с чётными номерами и стоящие на местах с нечётными номерами. В каждом из них либо все числа делятся на 3, либо по очереди дают остатки 1 и 2.Множество А содержит 15 различных натуральных чисел, не превосходящих 100, одно из которых равно 84, и обладает следующим свойством: модуль разности любых двух различных чисел из А снова содержится в А. Доказать, что А обязательно содержит число 42.
—
Далее, a3 – a1 меньше a3 и содержится в А, следовательно, оно равно a1 или a2, в первом случае a3 равнялось бы a2, чего не может быть, во втором 
Продолжая аналогично, получим 
Из того, что А содержит 84 следует, что a1 является делителем 84, все кратные этого делителя вплоть до 84 должны содержаться в А. Для делителей 1, 2, 3 и 4 это невозможно. так как их кратных до 84 будет больше 15, 6 и 7 подходят, а 12, 14, 21, 28 и 42 не подходят, так как их кратных будет не больше 8. В обоих подходящих случаях 42 делится на a1 и содержится в А.
1 балл. Доказано, что 
3 балла. Замечено, что a1 является делителем 84: 1 балл.
где k и a частное и остаток, полученные Женей, и 
где l и b — частное и остаток, полученные Вадиком. По условию 
откуда 
—
получаем единственно возможный ответ 
Минимальным примером такого n является число 
где первая цифра — остаток, а количество девяток в записи неполное частное от деления А на 9. Отсюда следует что, если А меньше В то и минимальное число с суммой цифр А меньше, чем минимальное число с суммой цифр В. Рассмотрим наименьшие натуральные числа с суммами цифр 
они равны соответственно 
Сумма первых 19 из них равна 775 , а остаток от деления её на 9 равен 1. как и остаток от деления 1000 на 9. Увеличим эту сумму на 225 , взяв вместо 9 число 234 с той же суммой цифр и получим представление 1000 в виде суммы 19 чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 234 с различными суммами цифр от 1 до 19. Предположим, что 1000 можно представить в виде суммы 
натуральных чисел 
с различными суммами цифр 
В таком случае, 
и, следовательно, 
Значит, 
тоже простые.
Если 
то все числа p, q, r — нечётные, а их разности 
не может быть простым числом, что противоречит условию задачи. Следовательно, 
— чётное простое число, значит, 
то есть 
В таком случае 
q, 
— три последовательных нечётных числа, следовательно, одно из них должно делиться на 3 (рассмотрение остатков от деления q на 3). Последнее возможно только при 
то есть q = 5, r = 7.
поэтому среди них всегда найдётся число, делящееся на n. Поскольку 
то среди тех же чисел найдётся число, делящееся на m. Если первое и второе найденные числа различны, то их произведение делится на mn. Предположим, что оба найденных числа совпадают и равны c. Обозначим наибольший общий делитель m и n за 
тогда 
причём m1 и n1 взаимно просты. Ввиду того, что c делится на m и n, оно делится и на их наименьшее общее кратное, равное 
Чтобы получить произведение, делящееся на 
достаточно найти среди чисел множества А второй сомножитель, делящийся на d. Числа 
и 
делятся на d, поэтому, если одно из них лежит в А, его можно взять в качестве второго сомножителя для c. Если же оба они не лежат в А, то первое меньше всех чисел из А, а второе — больше всех чисел из А, поэтому их разность, равная 2d не меньше 
Тогда 
что невозможно, так как d — собственный делитель n и не может превосходить 
— противоречие.
Число 
делится на 4, так как N четно. Далее, число N не делится на 5 (иначе оно делилось бы на 10) и, значит, представимо в виде 
или 
Но число 
Максим написал на доске произвольный многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Антон, не глядя на доску, сказал, что какое бы натуральное число n не назвал Максим, среди выражений P(1), P(1) + P(2), P(1) + P(2) + P(3), … обязательно найдётся число, кратное n. Прав ли Антон?
(в том числе для константы) и для любых натуральных чисел k, n разность 
делится на n. Многочлен состоит из суммы одночленов указанного вида, поэтому верно 
Это означает, что все числа вида 
где 
имеют одинаковый остаток при делении на n. Следовательно, 
при некотором натуральном a состоять только из девяток?
Заметим, что оба множителя не могут одновременно делиться на 5, так как 
делится на 5 при 
a 
делится на 5 при 
Значит, один из множителей 
так как в этом случае
В таком случае 
Остаётся заметить, что 
где a — простое число, большее 3. Вовочка хочет найти два различных необыкновенных числа, сумма которых являлась бы точным квадратом. Сможет ли он это сделать?
и 
—
и 
Волшебный медальон представляет собой идеальный круг диаметром 3 дюйма, в периметр которого вставлены 14 драгоценных камней так, что соседние находятся на равном расстоянии друг от друга; в центр медальона помещён еще один камень. В качестве камней используются рубины, сапфиры и изумруды; различить два камня одного типа невозможно. Какое наибольшее количество таких медальонов может существовать, если во всём мире не найдётся двух одинаковых?
такие, что ka и na имеют одинаковые остатки при делении на m. Это означает, что 
что в силу взаимной простоты a и m влечёт 
Поскольку 
их разность делится на m только тогда, когда они совпадают, что противоречит нашему предположению. Значит, все числа набора имеют различные остатки при делении на m, что и требовалось доказать.
При подсчёте общего количества каждый такой медальон учитывался дважды (так как можно заполнять камни с одной из двух задающих медальон позиций).
При подсчёте общего количества каждый такой медальон учитывался семь раз (аналогично рассуждениям при повороте на 2).
Докажите, что p = q.
и без ограничения общности будем считать, что 
Добавим к обеим частям равенства 1, после чего умножим обе части на 
Тогда по формуле разности степеней получим 
то 
а значит 
Но из малой теоремы Ферма следует, что 
что невозможно. Следовательно, наше предположение ошибочно и 
такое, что 
не кратно 10.
получаем, что последняя цифра ноль, а для 
Следовательно, наименьшее 
будет 2020.
состоящие из различных цифр П, В и Г, для которых выполняется равенство 
и 
(т. к. цифры разные). Кроме того числа 
и (П+В+Г) должны давать одинаковые остатки при делении на девять. Это возможно только тогда, когда П+В+Г кратно трем. Заметим, что 
—