РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 5 6 7 8 9
Атрибут

Всего: 84 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–84

Добавить в вариант

Тип 21 № 7655 Добавить в вариант

Для зашифрования сообщении каждая его буква заменяется числом по таблице (внизу страницы). В результате получается числовая последовательность x₁, ..., x_n. Затем вырабатывают последовательность γ₁, γ₂, ... по следующему правилу: γ₁  — некоторое натуральное число, γ₂  — сумма цифр квадрата γ₁, увеличенная на 1, и т. д. Например, если $гамма _1=7,$ то $гамма _2=14,$ $гамма _3=17$ и т. д. После этого выбирается некоторое натуральное t и формируется зашифрованное сообщение по правилу:

$r_32 левая круглая скобка x_1 плюс гамма _t правая круглая скобка ,$ $\ldots,$ $r_32 левая круглая скобка x_n плюс гамма _t плюс n минус 1 правая круглая скобка ,$

где r₃₂(a)  — остаток от деления числа a на 32. Известно, что для $гамма _1=1407$ и некоторого t получился следующий шифртекст:

15, 11, 18, 7, 29, 13, 7, 25, 23, 20, 16, 18, 7, 9, 23, 25, 10.

Восстановите исходное сообщение.

А	Б	В	Г	Д	Е Ё	Ж	З	И	Й	К	Л	М	Н	О	П	Р	С	Т	У	Ф	Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ъ	Ы	Ь	Э	Ю	Я
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31

Аналоги к заданию № 7649: 7655 Все

Решение · Прототип задания · Помощь

Тип 21 № 7656 Добавить в вариант

Для зашифрования осмысленного слова его буквы переводят в числа x₁, x₂, ..., x_n по таблице (внизу страницы). Затем выбирают натуральные числа x₀ и k. Далее число x₀ приписывают в начало последовательности x₁, x₂, ..., x_n а число $x_n плюс 1=x_0 плюс 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка$ (где n  — длина слова)  — в ее конец. Получившаяся в результате последовательность x₀, x₁, ..., x_n, x_n + 1 (где $x_n плюс 1=x_0 плюс 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка правая круглая скобка$ затем преобразуется в последовательность y₀, y₁, ..., y_n, y_n + 1 по формуле

$y_i=r_32 левая круглая скобка x_i плюс 10 x_i умножить на k плюс k правая круглая скобка ,$ $i=0, 1, \ldots, n плюс 1,$

где r₃₂(a)  — остаток от деления числа a на 32. Затем числа y₀, y₁, ..., $y_n плюс 1$ заменяют буквами согласно таблице. В результате получилось вот что: ЩВМЫЭДЫЭЪ. Какое слово было зашифровано?

А	Б	В	Г	Д	Е Ё	Ж	З	И	Й	К	Л	М	Н	О	П	Р	С	Т	У	Ф	Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ъ	Ы	Ь	Э	Ю	Я
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31

Аналоги к заданию № 7650: 7656 Все

Решение · Прототип задания · Помощь

Тип 21 № 7659 Добавить в вариант

Для зашифрования осмысленного слова его буквы переводят в числа x₁, x₂, ..., x_n по таблице (внизу страницы). Затем выбирают натуральные числа x₀ и k. Далее число x₀ приписывают в начало последовательности x₁, x₂, ..., x_n а число $x_n плюс 1=x_0 плюс 19 в степени левая круглая скобка n плюс 4 правая круглая скобка$ (где n  — длина слова)  — в ее конец. Получившаяся в результате последовательность x₀, x₁, ..., x_n, x_n + 1 затем преобразуется в последовательность y₀, y₁, ..., y_n, y_n + 1 по формуле

$y_i=r_32 левая круглая скобка x_i плюс 6x_i умножить на k в кубе плюс k правая круглая скобка ,$ $i=0, 1,\ldots, n плюс 1,$

где r₃₂(a)  — остаток от деления числа a на 32. Затем числа y₀, y₁, ..., $y_n плюс 1$ заменяют буквами согласно таблице. В результате получилось вот что: КЙЫЦНБНЦЛ. Какое слово было зашифровано?

А	Б	В	Г	Д	Е Ё	Ж	З	И	Й	К	Л	М	Н	О	П	Р	С	Т	У	Ф	Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ъ	Ы	Ь	Э	Ю	Я
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31

Решение · Помощь

Тип 21 № 7661 Добавить в вариант

Саша решил отправить Маше записку. Для этого каждую букву сообщения он заменил комбинацией из 0 и 1 согласно таблице (А  — 00000, Б  —00001, …, Я  — 11111). Взяв день «Д» и номер месяца «М» своего рождения Саша вычислил

$u_1= Д в квадрате плюс М в квадрате ,$ $u_2= Д умножить на М ,$ $u_3= Д минус М.$

Далее Саша вычислил четвертое $u_4=r_32 левая круглая скобка u_1 плюс u_2 u_3 правая круглая скобка ,$ пятое $u_5=r_32 левая круглая скобка u_2 плюс u_3 u_4 правая круглая скобка ,$ ..., n-ое число $u_n=r_32 левая круглая скобка u_n минус 3 плюс u_n минус 2 u_n минус 1 правая круглая скобка ,$ где r₃₂(a)  — остаток от деления числа a на 32. К i-му биту символу исходного сообщения (0 или 1) он прибавил число u_i и взял остаток от деления на 2. Полученную последовательность из 0 и 1 он вновь преобразовал в буквы по таблице и получил следующее сообщение: ЖДУЛЩБШЛТВШЦЧ. Помогите Маше прочитать его.

Решение.

По условию числа u_k прибавляются к битам открытого текста, а результат заменяется остатком от деления на 2 (то есть на 0 или 1). Поэтому сразу заменим u_k его остатком от деления на 2: считаем, что $u_k=0$ (если изначально u_k было четным) или $u_k=1$ (если оно было нечетным). Вычисление остатка от деления на 32 при построении последовательности u₁, u₂, ... никакой роли не играет (четные числа дают четный остаток, а нечетные  — нечетный).

Оказывается, в зависимости от четности чисел Д, М могут быть получены всего три различные последовательности u₁, u₂, ... а именно:

1.  Числа Д, М нечетные. Тогда $u_1=0,$ $u_2=1,$ $u_3=0,$ ...;

2.  Числа Д, М имеют разную четность. Тогда $u_1=1,$ $u_2=0,$ $u_3=1,$ ...;

3.  Числа Д, М четные. Тогда $u_1=u_2= умножить на s=u_32=0.$ В этом случае текст Машиной записки остался бы без изменения, что, очевидно, не так.

Далее необходимо в первых двух случаях вычислить последовательность {u_n} полностью, вычесть ее из зашифрованного текста (3Т) и убедиться, что читаемый вариант получается во втором случае (см. таблицу).

Ответ: СКОРОПЕРЕМЕНА.

Решение · Помощь

Тип 21 № 7663 Добавить в вариант

Рассмотрим девять чисел k₁, ..., k₉, где $k_i принадлежит левая фигурная скобка 0, 1, 2 правая фигурная скобка .$ При этом хотя бы одно число k_i отлично от нуля. С помощью этих чисел вырабатывают последовательность u₁, u₂, ..., u₂₀₁₉ по формулам:

$u_1=k_1,$ $u_2=k_2,$ $\ldots,$ $u_9=k_9,$ $u_i плюс 9=r_3 левая круглая скобка u_i плюс u_i плюс 1 правая круглая скобка ,$ $i=1, 2, \ldots, 2010,$

где r₃(a)  — остаток от деления числа a на 3. Найдите такое наименьшее натуральное число l, что какие бы исходные числа k₁, ..., k₉ мы ни взяли, в последовательности u₁, u₂, ..., u_l каждое из чисел 0, 1 и 2 гарантированно встретится хотя бы один раз.

Решение.

Для каждого набора $k= левая круглая скобка k_1, \ldots, k_9 правая круглая скобка$ укажем такое минимальное l, что в соответствующей последовательности u₁, u₂, ..., u_l присутствует каждое из чисел 0, 1 и 2. Затем среди всех таких l останется выбрать наибольшее  — это и будет ответом в задаче.

1.  В наборе k встречается каждое из чисел 0, 1 и 2. Тогда искомое l не превосходит 9.

2.  Набор k состоит только из 1. Тогда $u_10= умножить на s=u_17=2$ и $u_18=0.$ Значит, $l=18.$

3.  В наборе k присутствуют и 1, и 2, но нет 0. Значит, среди чисел u₁, u₂, ..., u₉ есть два соседних (u_s и u_s + 1), одно из которых равно 1, а другое 2. Тогда $u_s плюс 9=0$ и $l меньше или равно 17.$

4.  Набор k состоит из 0 и 1. Число 2 впоследствии дадут только две рядом стоящие 1. Поэтому рассмотрим варианты:

а) в k есть рядом стоящие 1. Тогда $l меньше 19;$

б) в k нет рядом стоящих 1. Здесь возможны следующие случаи:

— есть хоть одна единица «не с краю». То есть найдется номер s такой, что $2 меньше или равно s меньше или равно 8$ и $k_s=1.$ Рядом стоящих единиц нет, поэтому $k_s минус 1=k_s плюс 1=0.$ Тогда $u_s плюс 8=u_s плюс 9=1.$ Следовательно, $u_s плюс 17=2$ и $l меньше или равно 25;$

— единица есть только «с краю». Пусть $k= левая круглая скобка 1, 0, \ldots, 0 правая круглая скобка .$ В этом случае начало последовательности u₁, u₂, ... можно вычислить непосредственно:

$левая фигурная скобка u_n правая фигурная скобка = левая фигурная скобка 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 0, \ldots правая фигурная скобка$

и убедиться, что $l=27.$ Пусть $k= левая круглая скобка 1, 0, \ldots 0, 1 правая круглая скобка .$ Тогда

$левая фигурная скобка u_n правая фигурная скобка = левая фигурная скобка 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 0 \ldots правая фигурная скобка$

и $l=18 .$ И, наконец, для $k= левая круглая скобка 0, \ldots 0, 1 правая круглая скобка$ находим

$левая фигурная скобка u_n правая фигурная скобка = левая фигурная скобка 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 0, \ldots правая фигурная скобка$

и $l=26.$

Отметим, что случаи, «k состоит только из 2» и «k состоит только из 0 и 2» эквивалентны случаям 2 и 4 соответственно. Действительно, если в последовательности {u_n}, отвечающей набору $2 умножить на k,$ заменить все 2 на 1, а 1 на 2, то получится последовательность, соответствующая набору k.

Ответ: $l=27 .$

Решение · Помощь

Тип 21 № 7697 Добавить в вариант

Найдите две последние цифры числа $левая квадратная скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2016 правая круглая скобка правая квадратная скобка ,$ где [x]  — целая часть числа x.

Решение · Помощь

Тип 21 № 7756 Добавить в вариант

Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 19 имеет остаток 16, при делении на 20 имеет остаток 17, при делении на 21 имеет остаток 18.

Решение · Помощь

Тип 0 № 8269 Добавить в вариант

Найдите количество шестизначных чисел, обладающих следующим свойством: сумма остатков от деления числа на некоторые две последовательные степени числа десять равна 1234.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 8304 Добавить в вариант

Найдите количество семизначных чисел, обладающих следующим свойством: сумма остатков от деления числа на некоторые три последовательные степени числа десять равна 12345.

Решение.

Пусть искомое число есть $\overlinea b c d e f g$ $левая круглая скобка a не равно q 0 правая круглая скобка .$ Определим, какой может быть максимальная степень десятки, на которую происходит деление. Возможны несколько случаев:

1)  если максимальная степень десятки равна 4 или меньше, то сумма остатков меньше $10 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс$ $10 в кубе плюс 10 в квадрате ,$ что меньше 12345;

2)  если максимальная степень десятки равна 7 или больше, то сумма остатков не меньше $a умножить на 10 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка ,$ что больше 12345;

3)  максимальная степень десятки равна 5 или 6. Эти случаи возможны.

Пусть максимальная степень десятки равна 5. Тогда остатки от деления на $10 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка , 10 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка , 10 в кубе$ равны соответственно $\overlinec d e f g,$ $\overlined e f g,$ $\overlinee f g,$ и сумма остатков есть $c умножить на 10 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 2 d умножить на 10 в кубе плюс 3 S,$ где $S=$ $\overlinee f g,$ $0 меньше или равно S меньше 1000.$

Рассмотрим уравнение $c умножить на 10 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 2 d умножить на 10 в кубе плюс 3 S=12345.$ Так как $12345 меньше 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка ,$ то либо $c=0,$ либо $c=1.$

Если $c=0,$ то

$2 d умножить на 10 в кубе плюс 3 S=12345 \Rightarrow 2 d умножить на 10 в кубе =12345 минус 3 S=3 левая круглая скобка 4115 минус S правая круглая скобка .$

Поэтому $2 d$ делится на 3. При этом $9 меньше 2 d меньше или равно 12,$ так как $0 меньше или равно S меньше 1000.$ Поэтому $d=6,$ откуда $S=115.$ То есть число имеет вид $\overlinea b 06115.$ Таких чисел 90.

Если $c=1,$ то

$2 d умножить на 10 в кубе плюс 3 S=2345.2 d умножить на 10 в кубе =2345 минус 3 умножить на S.$

Поэтому либо $d=0,$ либо $d=1.$ Если $d=0,$ то $3 S=2345,$ что невозможно. Если $d=1,$ то $3 умножить на S=345,$ откуда $S=115.$ То есть число имеет вид $\overlinea b 11115.$ Таких чисел 90.

Пусть максимальная степень десятки равна 6. Тогда остатки от деления на $10 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка ,$ $10 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка ,$ $10 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка$ равны соответственно $\overlineb c d e f g,$ $\overlinec d e f g,$ $\overlined e f g .$ И сумма остатков есть $b умножить на 10 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка плюс 2 c умножить на 10 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 3 S,$ где $S=\overlined e f g,$ $0 меньше или равно S меньше 10000.$

Рассмотрим уравнение

$b умножить на 10 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка плюс 2 c умножить на 10 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 3 S=12345.$

Это равенство возможно только при $b=c=0.$ Значит, $3 S=12345,$ откуда $S=4115,$ то есть число имеет вид $\overlinea 004115.$ Таких чисел 9.

Значит, искомое количество семизначных чисел есть $90 плюс 90 плюс 9=189.$

Ответ: 189.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 8369 Добавить в вариант

Сережа задумал натуральное число n, не превосходящее 2019. Сначала он делит его с остатком на 202, получая неполное частное q₁ и остаток r₁. Затем на i-ом шаге $левая круглая скобка i=2, 3, \ldots правая круглая скобка$ он делит с остатком число $\overliner_i минус 1 q_i минус 1$ на 202, получая неполное частное q_i и остаток $r_i.$ Докажите, что

$\overline0, q_1 q_2 q_3 умножить на s= дробь: числитель: n, знаменатель: 2019 конец дроби .$

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 8434 Добавить в вариант

Найти наименьшее натуральное число, имеющее при делении на 3, 5 и 6 в остатке 1, а при делении на 11  — остаток 5.

Решение · Помощь

Тип 0 № 8448 Добавить в вариант

Найдите наименьшее натуральное число, обладающее следующим свойством: остаток от его деления на 20 на единицу меньше остатка от его деления на 21, а остаток от его деления на 22 равен 2.

Решение · Помощь

Тип 0 № 8460 Добавить в вариант

Найдите все решения ребуса $И умножить на 3 умножить на У умножить на М плюс Р умножить на У умножить на Д=2022$ и докажите, что других нет (в ребусе одинаковыми буквами заменены одинаковые цифры, разными  — разные).

Баллы	Критерии оценивания
20	Полное решение.
18	Верное решение, в котором допущена одна арифметическая ошибка, из-за которой было получено постороннее решение ребуса.
15	Разобраны все случаи, кроме $У=6;$ $И=9,$ $З=8,$ $М меньше или равно 3.$
15	Разобраны все случаи, кроме $У=6,$ $И умножить на З умножить на М =4 умножить на 8 умножить на 7;$ $У=6$ $И умножить на З умножить на М =4 умножить на 8 умножить на 5;$ $У=6$ $И умножить на З умножить на М =8 умножить на 9 умножить на 5.$
14	Случай $У=6$ разобран верно.
6	Разобраны случаи $У=1,$ $У=2,$ $У=3.$
3	Разобран один или два из случаев $У=1,$ $У=2,$ $У=3.$
0	Отсутствие решения.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 8475 Добавить в вариант

Существует ли трёхзначное число такое, что в его записи все цифры различны и расположены в порядке возрастания, в записи его квадрата все цифры различны и расположены в порядке возрастания, и в записи его куба все цифры различны и расположены в порядке возрастания?

Баллы	Критерии оценивания
20	Полное решение.
17	Не обосновано, что 1234567 не является кубом. В остальном решение верное.
12	Ход решения и ответ верные, но неверно оценено количество цифр в квадрате и кубе.
3	Рассмотрены последние цифры (не все) и доказана невозможность хотя бы четырёх цифр.
0	Отсутствие решения.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 8493 Добавить в вариант

Пусть $p_1, p_2, \ldots, p_n, \ldots$   — множество всех простых чисел, расположенных в некотором порядке. Может ли случиться так, что для всех натуральных i число $дробь: числитель: p_i p_i плюс 1 минус p_i плюс 2 в квадрате , знаменатель: p_i плюс p_i плюс 1 конец дроби$ является натуральным?

Решение.

Для решения данного задания воспользуемся леммой: простых чисел вида $3 k плюс 2$ бесконечно много. Докажем её. Предположим, что простых чисел вида $3 k плюс 2$ конечное число. Обозначим все такие числа через $q_1, q_2, \ldots, q_l.$ Число $3 q_1 q_2 \ldots q_l минус 1$ не делится на простые числа $q_1, q_2, \ldots, q_l$ и даёт остаток 2 при делении на 3. Значит, среди его простых делителей должно быть число вида $3 k плюс 2$ противоречие. Лемма доказана.

Вернёмся к решению задачи. Предположим, что такое могло случиться. Тогда существует натуральное m такое, что $p_m=2.$ Значит, число

$дробь: числитель: 2 p_m плюс 1 минус p_m плюс 2 в квадрате , знаменатель: 2 плюс p_m плюс 1 конец дроби =2 минус дробь: числитель: p_m плюс 2 в квадрате плюс 4, знаменатель: 2 плюс p_m плюс 1 конец дроби меньше 2$

является натуральным, откуда $дробь: числитель: p_m плюс 2 в квадрате плюс 4, знаменатель: 2 плюс p_m плюс 1 конец дроби =1$ и $p_m плюс 1=p_m плюс 2 в квадрате плюс 2.$ Случай $m больше 1$ невозможен, так как тогда число

$дробь: числитель: 2 p_m минус 1 минус p_m плюс 1 в квадрате , знаменатель: 2 плюс p_m минус 1 конец дроби = 2 минус дробь: числитель: p_m плюс 1 в квадрате плюс 4, знаменатель: 2 плюс p_m минус 1 конец дроби меньше 2$

также является натуральным, откуда $дробь: числитель: p_m плюс 1 в квадрате плюс 4, знаменатель: 2 плюс p_m минус 1 конец дроби =1$ и

$p_m минус 1=p_m плюс 1 в квадрате плюс 2= левая круглая скобка p_m плюс 2 в квадрате плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 2.$

Теперь если $p_m плюс 2=3,$ то $p_m минус 1=123,$ что невозможно. Если же $p_m плюс 2 не равно q 3,$ то $p_m плюс 2 в квадрате \equiv_3 1$ и $p_m плюс 1=$ $p_m плюс 2 в квадрате плюс 2 \vdots 3,$ а значит $p_m плюс 1=3, p_m плюс 2=1,$ что невозможно. Следовательно, $m=1.$ Предположим теперь, что нашлись числа $p_k$ и $p_k плюс 1$ с различными ненулевыми остатками при делении на 3, то есть $p_k плюс p_k плюс 1 \vdots 3.$ Поскольку число $дробь: числитель: p_k p_k плюс 1 минус p_k плюс 2 в квадрате , знаменатель: p_k плюс p_k плюс 1 конец дроби$ является натуральным, то $p_k p_k плюс 1$   — $p_k плюс 2 в квадрате \vdots 3.$ Но тогда $p_k плюс 2 в квадрате \equiv_3 p_k p_k плюс 1 \equiv_3 2,$ что невозможно, так как квадраты имеют остатки 0 или 1 при делении на 3. B итоге мы доказали, что числа с остатками 1 и 2 при делении на 3 не могут быть соседними.

Поскольку $p_1=2,$ это означает, что после $p_1$ стоят несколько чисел с остатком 2 при делении на 3, затем где-то стоит число 3. Если после тройки стоит число с остатком 2 при делении на 3, то все числа далее будут с таким же остатком и в последовательности простых чисел не будет ни одного числа с остатком 1 при делении на 3 (такие есть, например, число 7). Следовательно, после тройки стоит число с остатком 1 при делении на 3 и все числа за ним имеют такой же остаток. Но тогда до тройки стоит лишь конечное число простых чисел с остатком 2 при делении на 3, что противоречит доказанной лемме. Следовательно, так расставить числа нельзя.

Ответ: не может.

Замечания.

Факт того, что простых чисел бесконечно много, принимается без доказательства.

Баллы	Критерии оценивания
20	Полное решение.
15	Доказано, что описанная ситуация возможна лишь при $p_1=2,$ $p_2=11,$ $p_3=3,$ но невозможность этого случая не доказана.
3	Доказано, что $p_i не равно 2$ при $i больше 2.$
0	Отсутствие решения.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 8572 Добавить в вариант

С каким остатком число 12 345 678 в степени 456 делится на 11?

Решение · Помощь

Тип 21 № 9078 Добавить в вариант

а)  Даны натуральные числа a и b. Можно ли утверждать, что они имеют одинаковые остатки при делении на 10, если известно, что числа 3a + b и 3b + a имеют одинаковые остатки при делении на 10?

б)  Даны натуральные числа a, b и c. Известно, что у чисел 2a + b, 2b + c и 2c + a остатки при делении на 10 одинаковые. Докажите, что у чисел a, b и c остатки при делении на 10 тоже одинаковые.

Решение · Помощь

Тип 21 № 9153 Добавить в вариант

На интервале $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2023 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2022 конец дроби правая круглая скобка$ отмечены все несократимые обыкновенные дроби вида $дробь: числитель: 231, знаменатель: q конец дроби .$ Найти сумму обратных величин таких дробей.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 9229 Добавить в вариант

Денис загадал натуральное число n. Известно, что если к числу n прибавить 6, то получится число, дающее при делении на 101 такой же остаток, как и число n². Чему может быть равен остаток от деления n на 101? Укажите все возможные варианты.

Решение · Помощь

Тип 21 № 9329 Добавить в вариант

Найдите все пары натуральных чисел $x больше или равно 2,$ $y больше или равно 2$ такие, что остаток от деления числа 3x на y равен 1, остаток от деления числа 3y на x равен 1 и остаток от деления числа xy на 3 тоже равен 1.

Решение · Критерии · Помощь

Всего: 84 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–84