Для того чтобы число де­ли­лось на 15, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 5 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 5, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0 или 5 (2 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 5), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 5184.

Для того чтобы число де­ли­лось на 6, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 2 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 2, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0, 2, 4, 6, 8 (5 спо­со­бов).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 6), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 8), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 2160.

Для того чтобы число де­ли­лось на 75, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 25 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 25, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 5 (1 спо­соб).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 5), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 2592.

Для того чтобы число де­ли­лось на 12, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 4 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 4, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0,4 или 8 (3 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 8), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 1296.

Для того чтобы число де­ли­лось на 45, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 5 и на 9. Для того чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 5, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0 или 5 (2 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на де­вять, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на По­сколь­ку дан­ные цифры дают все воз­мож­ные остат­ки от де­ле­ния на 9 (0, 1, 2, ..., 8), и при этом каж­дый оста­ток встре­ча­ет­ся ровно 1 раз, то по­след­нюю цифру можно вы­брать одним спо­со­бом.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего спо­со­ба.

Ответ: 13 122.

Для того чтобы число де­ли­лось на 18, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 2 и на 9. Для того чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 2, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0, 2, 4, 6 или 8 (5 спо­со­бов).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на де­вять, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на По­сколь­ку дан­ные цифры дают все воз­мож­ные остат­ки от де­ле­ния на 9 (0, 1, 2, ..., 8), и при этом каж­дый оста­ток встре­ча­ет­ся ровно 1 раз, то по­след­нюю цифру можно вы­брать одним спо­со­бом. При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 3645.

Для того чтобы число де­ли­лось на 45, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 5 и на 9. Для того чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 5, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0 или 5 (2 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на де­вять, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 9. По­сколь­ку дан­ные цифры дают все воз­мож­ные остат­ки от де­ле­ния на 9 (0, 1, 2, ..., 8), и при этом каж­дый оста­ток встре­ча­ет­ся ровно 1 раз, то по­след­нюю цифру можно вы­брать одним спо­со­бом. При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 13 122.

Для того чтобы число де­ли­лось на 18, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 2 и на 9. Для того чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 2, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0, 2, 4, 6 или 8 (5 спо­со­бов).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на де­вять, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 9. По­сколь­ку дан­ные цифры дают все воз­мож­ные остат­ки от де­ле­ния на 9 (0, 1, 2, ..., 8), и при этом каж­дый оста­ток встре­ча­ет­ся ровно 1 раз, то по­след­нюю цифру можно вы­брать одним спо­со­бом. При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 3645.

Рас­смот­рим 2018 чисел

Остат­ков при де­ле­нии на 2017−2017. Сле­до­ва­тель­но, по при­зна­ку Ди­ри­х­ле су­ще­ству­ет 2 числа, име­ю­щих оди­на­ко­вый оста­ток.

Пусть это и тогда

сле­до­ва­тель­но,

Для того чтобы число де­ли­лось на 15, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 5 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 5, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0 или 5 (2 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 5), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 5184.

Для того чтобы число де­ли­лось на 6, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 2 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 2, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0, 2, 4, 6, 8 (5 спо­со­бов).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 6), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 8), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 2160.

Для того чтобы число де­ли­лось на 75, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 25 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 25, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 5 (1 спо­соб).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 5), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ:

Для того чтобы число де­ли­лось на 12, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 4 и на Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 4, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0, 4 или 8 (3 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 8), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 1296.

Для того чтобы число де­ли­лось на 15, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 5 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 5, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0 или 5 (2 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 5), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 5184.

Для того чтобы число де­ли­лось на 6, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 2 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 2, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0, 2, 4, 6, 8 (5 спо­со­бов).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 6), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 8), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 2160.

Для того чтобы число де­ли­лось на 75, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 25 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 25, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 5 (1 спо­соб).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 5), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 2592.

Для того чтобы число де­ли­лось на 12, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 4 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 4, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0,4 или 8 (3 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 8), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 1296.

Раз­ло­жив де­ли­мое и де­ли­тель на мно­жи­те­ли, по­лу­ча­ем усло­вие Зна­чит, одно из чисел или де­лит­ся на 97. Рас­смот­рим два слу­чая.

а)  Когда т. е. Тогда по­лу­ча­ем

Пер­вый мно­жи­тель де­лит­ся на 3 при а вто­рой  — при от­ку­да по­лу­ча­ем, что

б)  Когда т. е. Тогда по­лу­ча­ем

Пер­вый мно­жи­тель де­лит­ся на 3 при а вто­рой  — при от­ку­да по­лу­ча­ем, что Итак, усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа, да­ю­щие остат­ки 193, 290, 98, 1 при де­ле­нии на 291, то есть под­хо­дят каж­дые 4 из 291 под­ряд иду­щих чисел. Так как

по­лу­ча­ем чисел.

Ответ: 4000.

Раз­ло­жив де­ли­мое и де­ли­тель на мно­жи­те­ли, по­лу­ча­ем усло­вие

Зна­чит, одно из чисел или де­лит­ся на 89. Рас­смот­рим два слу­чая.

а)  Когда то есть Тогда по­лу­ча­ем

Пер­вый мно­жи­тель де­лит­ся на 5 при а вто­рой  — при от­ку­да по­лу­ча­ем, что и

б)  Когда то есть Тогда по­лу­ча­ем

Пер­вый мно­жи­тель де­лит­ся на 5 при а вто­рой  — при от­ку­да по­лу­ча­ем, что и

Итак, усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа, да­ю­щие остат­ки 276, 444, 179, 1 при де­ле­нии на 445, то есть под­хо­дят каж­дые 4 из 445 под­ряд иду­щих чисел. Так как по­лу­ча­ем чисел.

Ответ: 4000.

Раз­ло­жив де­ли­мое и де­ли­тель на мно­жи­те­ли, по­лу­ча­ем усло­вие Зна­чит, одно из чисел k или де­лит­ся на 101. Рас­смот­рим два слу­чая.

a) Когда то есть Тогда по­лу­ча­ем

Пер­вый мно­жи­тель де­лит­ся на 3 при а вто­рой  — при от­ку­да по­лу­ча­ем, что и

б)  Когда то есть Тогда по­лу­ча­ем

Пер­вый мно­жи­тель де­лит­ся на 3 при а вто­рой  — при от­ку­да по­лу­ча­ем, что и

Итак, усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа, да­ю­щие остат­ки 0, 202, 99, 301 при де­ле­нии на 303, то есть под­хо­дят каж­дые 4 из 303 под­ряд иду­щих чисел. Так как

по­лу­ча­ем чисел.

Ответ: 3200.