РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8808 Добавить в вариант

Дан 11-угольник A₁A₂...A₁₁ и последовательность точек X₀, X₁, X₂, ... на сторонах этого многоугольника, такая, что точка X₀ лежит на стороне A₁A₁₁ и для любого целого $k больше или равно 0$ точка $X_11 k плюс 1$   — на стороне A₁A₂, точка $X_11 k плюс 2$   — на стороне A₂A₃, ..., точка $X_11 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка$   — на стороне A₁₁A₁, причем

$A_1 X_11 k=A_1 X_11 k плюс 1,$ $A_2 X_11 k плюс 1=A_2 X_11 k плюс 2,$ $A_3 X_11 k плюс 2=A_3 X_11 k плюс 3,$ $\ldots,$ $A_11 X_11 k плюс 10=A_11 X_11 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка .$

Докажите, что последовательность точек X₀, X₁, X₂, ... состоит из конечного множества точек. Укажите верхнюю границу для числа n различных точек в этой последовательности и покажите, что эта граница достижима (то есть существует такой многоугольник A₁A₂...A₁₁ и последовательность точек X₀, X₁, X₂, ... построенная по описанным правилам, в которой ровно n различных точек).

There is a sequence of points X₀, X₁, X₂, ... on sides of a polygon A₁A₂...A₁₁ such that X₀ lies on A₁A₁₁ and for any non-negative integer k point $X_11 k плюс 1$ lies on A₁A₂, point $X_11 k плюс 2$ lies on A₂A₃, ..., and point $X_11 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка$ lies on A₁₁A₁. It is gives that

for any integer $k больше или равно 0.$ Prove that the sequence X₀, X₁, X₂, ... contains a finite number of points. What number is it? Show that the number is achievable on some polygon with 11 sides.

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу для произвольного $левая круглая скобка 2 m плюс 1 правая круглая скобка$ -угольника. Здесь m  — заданное натуральное число (в данной задаче оно равно 5). Пусть длина стороны $A_k A_k плюс 1$ (для $1 меньше или равно k меньше или равно 2 m правая круглая скобка$ равна a_k, длина стороны $A_2 m плюс 1 A_1$ равна $a_2 m плюс 1,$ а x  — длина A₁X₀. Тогда

$\left|A_2 X_1|= левая круглая скобка a_1 минус x правая круглая скобка ,$

$\left|A_3 X_2|= левая круглая скобка a_2 минус левая круглая скобка a_1 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка a_2 минус a_1 плюс x правая круглая скобка ,$

$\left|A_4 X_3|= левая круглая скобка a_3 минус левая круглая скобка a_2 минус a_1 плюс x правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка a_3 минус a_2 плюс a_1 минус x правая круглая скобка ,$

$\ldots$

$\left|A_2 k плюс 1 X_2 k|= левая круглая скобка \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=k правая круглая скобка a_2 i минус \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=k правая круглая скобка a_2 i минус 1 плюс x правая круглая скобка ,$

$\left|A_2 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка X_2 k плюс 1|= левая круглая скобка \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=k правая круглая скобка a_2 i плюс 1 минус \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=k правая круглая скобка a_2 i минус x правая круглая скобка ,$

$\ldots$

$\left|A_2 m плюс 1 X_2 m|= левая круглая скобка \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус 1 плюс x правая круглая скобка ,$

$\left|A_0 X_2 m плюс 1|= левая круглая скобка \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i плюс 1 минус \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус x правая круглая скобка ,$

для $1 меньше или равно k меньше или равно m.$ Если точка $X_2 m плюс 1$ совпадает с X₀, тогда все точки, начиная с этого места, будут повторяться. Если точки $X_2 m плюс 1$ и X₀ не совпадают, то процесс совпадения точек начинается не с X₀, а с $X_2 m плюс 1$ и с расстояния не x, а

$левая круглая скобка \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i плюс 1 минус \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус x правая круглая скобка .$

Поэтому после второго прохода того же цикла для точки $X_2 левая круглая скобка 2 m плюс 1 правая круглая скобка$ имеем

$\left|A_0 X_2 левая круглая скобка 2 m плюс 1 правая круглая скобка |= левая круглая скобка \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i плюс 1 минус \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус \left|A_0 X_2 m плюс 1| правая круглая скобка = левая круглая скобка \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i плюс 1 минус \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус левая круглая скобка \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i плюс 1 минус \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус x правая круглая скобка правая круглая скобка =x,$

то есть точка $X_2 левая круглая скобка 2 m плюс 1 правая круглая скобка$ совпадает с X₀ и в последовательности X₀,X₁, X₀, ...  — не более $2 левая круглая скобка 2 m плюс 1 правая круглая скобка$ различных точек.

Для реализации сценария с этим количеством точек используем правильный $левая круглая скобка 2 m плюс 1 правая круглая скобка$ -угольник со стороной, равной 3x. Что требовалось доказать.

Let's solve the task for arbitrary polygon with $2 m плюс 1$ sides for some positive integer m (for that particular tasks we have $m=5 правая круглая скобка .$ Let length of any side $A_k A_k плюс 1$ (for $1 меньше или равно k меньше или равно 2 m правая круглая скобка$ be equal to a_k with length of $A_2 m плюс 1 A_1$ being equal to $a_2 m плюс 1$ and x being the length of A₁X₀. Then we have

$\left|A_2 X_1|= левая круглая скобка a_1 минус x правая круглая скобка ,$

$\ldots$

for $1 меньше или равно k меньше или равно m.$ If $X_2 m плюс 1$ coincides with X₀, then all other points on same sides coincide. If $X_2 m плюс 1$ and X₀ doesn't coincide, then the process of point coinciding starts not with $X_0$ but with $X_2 m плюс 1$ with distance

After the second traversal for the point $X_2 левая круглая скобка 2 m плюс 1 правая круглая скобка$ we have

thus the point $X_2 левая круглая скобка 2 m плюс 1 правая круглая скобка$ coincides with the point X₀ and in the sequence X₀, X₁, X₂, ... we have no more than $2 левая круглая скобка 2 m плюс 1 правая круглая скобка$ different points. Then we construct equilateral polygon of $2 m плюс 1$ sides with length of any side being equal to 3x.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Описание системы баллов за решение задач

I. Первичная оценка решения каждой задачи выставляется по 5-балльной шкале, где

0 — задача не решена или решена неверно из-за грубых ошибок в рассуждениях;

1 — задача решена неверно, но присутствует плодотворная идея, применимая для решения задачи;

2 — задача решена неверно, но присутствует и частично применена плодотворная идея, достигнут некоторый прогресс в решении;

3 — задача решена частично либо полностью, но с существенными арифметическими ошибками при наличии правильного хода рассуждений;

4 — задача решена верно, но с незначительными ошибками;

5 — задача полностью решена.

II. Для каждой задачи вычисляется средний балл (M) по результатам ее решения всеми участниками.

III. Весовой коэффициент (K) каждой задачи вычисляется по простой формуле:

$K=10 минус 1,8 умножить на M .$

Таким образом, весовой коэффициент задачи может изменяться в пределах от 1 до 10 в зависимости от среднего балла участников за эту задачу.

IV. Балл каждого участника за каждую задачу умножается на весовой коэффициент этой задачи.

V. Баллы, набранные участником, суммируются с округлением до ближайшего целого в большую сторону.

Specification of the score system

I. Pre-score of the solution to each problem is set on a 5-point scale, where

0 — a task was not solved or solved incorrectly due to gross reasoning blunder;

1 — a task was solved incorrectly but there is a fruitful idea that can be used to solve the task;

2 — a task was solved incorrectly but a fruitful idea is present and partially applied, some progress has been made in the solution;

3 — a task was solved partially or completely but with significant arithmetic errors in the presence of the correct line of reasoning;

4 — a task was solved correctly but with minor errors;

5 — a task was solved completely.

II. An average score (M) is calculated based on the results of all participants for each task.

III. The weighting factor (K) of each task is calculated using a simple formula:

$K=10 минус 1,8 умножить на M.$

Thus, the weighting coefficient of a task can vary from 1 to 10 , depending on the average score of the participants for this task.

IV. Each participant's score for each task is multiplied by the weighting factor of that task.

V. The points scored by the participant are summed and rounded up to the nearest integer.

Аналоги к заданию № 8808: 8814 Все

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 8, 9, 7 класс, 1 тур (отборочный) 2 этап, 2021 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Произвольные многоугольники

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь