РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8814 Добавить в вариант

Дан 57-угольник A₁A₂...A₅₇ и последовательность точек X₀, X₁, X₂, ... на сторонах этого многоугольника, такая, что точка X₀ лежит на стороне A₁A₅₇ и для любого целого $k больше или равно 0$ точка $X_57 k плюс 1$   — на стороне A₁A₂, точка $X_57 k плюс 2$   — на стороне A₂A₃, ..., точка $X_57 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка$   — на стороне A₅₇A₁, причем

$A_1 X_57 k=A_1 X_57 k плюс 1,$ $A_2 X_57 k плюс 1=A_2 X_57 k плюс 2,$ $A_3 X_57 k плюс 2=A_3 X_57 k плюс 3,$ $\ldots,$ $A_57 X_57 k плюс 56=A_57 X_57 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка .$

Докажите, что последовательность точек X₀, X₁, X₂, ... состоит из конечного множества точек. Укажите верхнюю границу для числа n различных точек в этой последовательности и покажите, что эта граница достижима (то есть существует такой многоугольник A₁A₂...A₅₇ и последовательность точек X₀, X₁, X₂, ... построенная по описанным правилам, в которой ровно n различных точек).

There is a sequence of points X₀, X₁, X₂, ... on sides of a polygon A₁A₂...A₅₇ such that X₀ lies on A₁A₅₇ and for any non-negative integer k point $X_57 k плюс 1$ lies on A₁A₂, point $X_57 k плюс 2$ lies on A₂A₃, ..., and point $X_57 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка$ lies on A₅₇A₁. It is gives that

for any integer $k больше или равно 0.$ Prove that the sequence X₀, X₁, X₂, ... contains a finite number of points. What number is it? Show that the number is achievable on some polygon with 57 sides.

Спрятать решение

Решение.

Смотреть решение задачи №5 для 7−9 классов 8808.

See solution of task 8808 for 7−9 degree.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Описание системы баллов за решение задач

I. Первичная оценка решения каждой задачи выставляется по 5-балльной шкале, где

0 — задача не решена или решена неверно из-за грубых ошибок в рассуждениях;

1 — задача решена неверно, но присутствует плодотворная идея, применимая для решения задачи;

2 — задача решена неверно, но присутствует и частично применена плодотворная идея, достигнут некоторый прогресс в решении;

3 — задача решена частично либо полностью, но с существенными арифметическими ошибками при наличии правильного хода рассуждений;

4 — задача решена верно, но с незначительными ошибками;

5 — задача полностью решена.

II. Для каждой задачи вычисляется средний балл (M) по результатам ее решения всеми участниками.

III. Весовой коэффициент (K) каждой задачи вычисляется по простой формуле:

$K=10 минус 1,8 умножить на M .$

Таким образом, весовой коэффициент задачи может изменяться в пределах от 1 до 10 в зависимости от среднего балла участников за эту задачу.

IV. Балл каждого участника за каждую задачу умножается на весовой коэффициент этой задачи.

V. Баллы, набранные участником, суммируются с округлением до ближайшего целого в большую сторону.

Specification of the score system

I. Pre-score of the solution to each problem is set on a 5-point scale, where

0 — a task was not solved or solved incorrectly due to gross reasoning blunder;

1 — a task was solved incorrectly but there is a fruitful idea that can be used to solve the task;

2 — a task was solved incorrectly but a fruitful idea is present and partially applied, some progress has been made in the solution;

3 — a task was solved partially or completely but with significant arithmetic errors in the presence of the correct line of reasoning;

4 — a task was solved correctly but with minor errors;

5 — a task was solved completely.

II. An average score (M) is calculated based on the results of all participants for each task.

III. The weighting factor (K) of each task is calculated using a simple formula:

$K=10 минус 1,8 умножить на M.$

Thus, the weighting coefficient of a task can vary from 1 to 10 , depending on the average score of the participants for this task.

IV. Each participant's score for each task is multiplied by the weighting factor of that task.

V. The points scored by the participant are summed and rounded up to the nearest integer.

Аналоги к заданию № 8808: 8814 Все

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 10 класс, 1 тур (отборочный) 2 этап, 2021 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Произвольные многоугольники

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь