сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Во­воч­ка скла­ды­ва­ет трех­знач­ные числа в стол­бик сле­ду­ю­щим об­ра­зом: он не за­по­ми­на­ет де­сят­ки, а под каж­дой парой цифр в оди­на­ко­вых раз­ря­дах пишет их сумму, даже если она дву­знач­на. На­при­мер, для суммы 248 + 208 он по­лу­чил бы зна­че­ние 4416.

а)  В сколь­ких слу­ча­ях Во­воч­ка по­лу­чит пра­виль­ный ответ, скла­ды­вая все­воз­мож­ные пары трех­знач­ных чисел? (Если не­ко­то­рые два числа Во­воч­ка уже скла­ды­вал ранее в дру­гом по­ряд­ке, то он этого не за­ме­ча­ет.)

б)  Най­ди­те наи­мень­шую воз­мож­ную раз­ность между вер­ным от­ве­том и от­ве­том Во­воч­ки для всех осталь­ных трех­знач­ных чисел.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Во­воч­ка по­лу­чит пра­виль­ный ответ в том и толь­ко том слу­чае, если при сло­же­нии по­след­них и пред­по­след­них цифр по­лу­чит­ся также цифра, т. е. не будет пе­ре­но­са раз­ря­да. Под­счи­та­ем, для сколь­ких пар цифр их сумма не пре­вос­хо­дит 9. Если одна цифра равна 0, то для дру­гой имеем 10 ва­ри­ан­тов (любая цифра); если одна цифра равна 1, то для дру­гой есть 9 ва­ри­ан­тов (от 0 до 8), и т. д.: если одна цифра равна 9, то для дру­гой остаётся лишь 1 ва­ри­ант (равна 0). Итого ва­ри­ан­тов

1 плюс 2 плюс \ldots плюс 10=55 .

Пер­вая цифра каж­до­го из скла­ды­ва­е­мых трёхзнач­ных чисел может быть любой от 1 до 9. Таким об­ра­зом, всего по­лу­ча­ем

9 умно­жить на 9 умно­жить на 55 умно­жить на 55= 245 025 ва­ри­ан­тов.

При этом оди­на­ко­вые пары чисел, для ко­то­рых Во­воч­ка по­лу­чит пра­виль­ный ответ, учте­ны два­жды. Таких пар всего 9 умно­жить на 5 умно­жить на 5=225. Сле­до­ва­тель­но, пра­виль­ный ответ Во­воч­ка по­лу­чит в

245 025 минус 225=244 800 слу­ча­ях.

б) Пусть \overlinea b c и \overlinex y z  — скла­ды­ва­е­мые Во­воч­кой числа  левая круг­лая скоб­ка a, x боль­ше или равно 1, так как числа трёхзнач­ны), их сумма равна

100 левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 10 левая круг­лая скоб­ка b плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка c плюс z пра­вая круг­лая скоб­ка .

Если Во­воч­ка по­лу­чил не­пра­виль­ный ответ, то при сло­же­нии по­след­них или пред­по­след­них цифр (или в обоих слу­ча­ях) сумма была дву­знач­ной, т. е. воз­мож­ны три слу­чая.

1)  Если b плюс y боль­ше или равно 10 и  c плюс z мень­ше 10, то Во­воч­ка по­лу­чит ответ

1000 левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 10 левая круг­лая скоб­ка b плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка c плюс z пра­вая круг­лая скоб­ка ,

а раз­ность между вер­ным от­ве­том и от­ве­том Во­воч­ки равна 900 левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка .

2)  Если b плюс y мень­ше 10 и  c плюс z боль­ше или равно 10, то ответ Во­воч­ки равен

1000 левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 100 левая круг­лая скоб­ка b плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка c плюс z пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что от­ли­ча­ет­ся от вер­но­го от­ве­та на 900 левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 90 левая круг­лая скоб­ка b плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка .

3)  Если b плюс y боль­ше или равно 10 и c плюс z боль­ше или равно 10, то Во­воч­ка по­лу­чит ответ

10000 левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1000 левая круг­лая скоб­ка b плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка c плюс z пра­вая круг­лая скоб­ка .

в этом слу­чае раз­ность равна 9900 левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 990 левая круг­лая скоб­ка b плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка .

Итак, в каж­дом из слу­ча­ев раз­ность от­ве­тов будет не мень­ше, чем 900 левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1800 . Раз­ность, рав­ная 1800, по­лу­чит­ся, на­при­мер, при сло­же­нии чисел 105 и 105: Во­воч­ка по­лу­чит ответ 2010 при вер­ном от­ве­те 210.

 

Ответ: а) 244 620; б) 1800.

Спрятать критерии
Критерии проверки:


Аналоги к заданию № 4273: 4274 Все