РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4167 Добавить в вариант

Дан выпуклый четырехугольник ABCD и точка M внутри него. Оказалось, что все треугольники ABM, BCM, CDM и DAM равнобедренные. Докажите, что среди отрезков AM, BM, CM и DM найдутся хотя бы два одинаковых по длине.

Спрятать решение

Решение.

Поскольку

$\angle A M B плюс \angle B M C плюс \angle C M D плюс \angle D M A=360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

то хотя бы один из этих четырёх углов неострый. Пусть, для определенности, $\angle A M B больше или равно 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Тогда $A B больше A M$ и $A B больше B M.$ Значит, равными сторонами в треугольнике AMB являются AM и BM.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Каждая из четырёх задач данной олимпиады оценивается, исходя из максимума в 25 баллов. Таким образом, максимальный результат участника может быть 100 баллов. Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.

Символы-баллы	Правильность (ошибочность) решения
+25	Полное верное решение
+20	Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
±16	Решение в целом верное, но содержит мелкие ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений.
+/2 13	Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основанная оценка.
±10	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
−5	Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения.
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0	Решение отсутствует (участник не приступал).

Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 13 баллов. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком-стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ $\pm \uparrow$ будет соответствовать 17 баллам.

Олимпиада Будущие исследователи  — будущее науки, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Четырехугольник произвольный, Олимпиадная геометрия. Неравенства в геометрии

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь