РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2488 Добавить в вариант

В однокруговом турнире по настольному теннису участвовало 100 спортсменов, причем ни один из них не выиграл все матчи. Будем говорить, что игрок A круче игрока B, если A выиграл у B или найдется такой игрок C, что A выиграл у C, С выиграл у B. Каково наименьшее количество теннисистов, оказавшихся по итогам турнира круче всех остальных? Ничьих в теннисе не бывает.

Спрятать решение

Решение.

Докажем вначале лемму: в произвольном турнире теннисист X, одержавший наибольшее число побед, круче всех. Действительно, пусть Y  — другой участник турнира. Если теннисист X выиграл у Y, то он круче Y. В противном случае Y должен был проиграть кому-то из соперников, у которых X выиграл, иначе Y одержал бы больше побед, чем X. Мы снова получаем, что X круче Y, и лемма доказана.

Рассмотрим теперь турнир, удовлетворяющий у словию задачи. Пусть теннисист A одержал в нем наибольшее число побед. В Силу леммы A круче всех. Обозначим число побед A через k и заметим, что $k меньше 99,$ поскольку A выиграл не все матчи. Предположим, что A победил теннисистов $B_1, \ldots, B_k$ и проиграл cоперникам $C_1, \ldots, C_9 минус k.$ Если учитывать только результаты игр между $C_1, \ldots, C_99 минус k,$ то в этом мини-турнире по лемме найдется участник C*, который круче всех. Кроме A проиграли. Таким образом, C* круче остальных участников всего турнира.

Заметим, что по условию C* должен проиграть кому-то из соперников. Пусть $D_1, \ldots, D_m$   — все участники, выигравшие у C*. По лемме в мини-турнире $D_1, \ldots, D_m$ найдется теннисист D*, который круче всех. Кроме того, D* круче любого участника E не из этого мини-турнир а, поскольку D* выиграл у C*, а C*  — у E. Значит, D* круче остальных участников всего турнира.

Таким образом, всегда существуют по крайней мере три теннисиста (A, C* и D*), которые круче всех. Приведем пример турнира, в котором таких участников ровно 3. Пусть трое теннисистов одержали по одной победе в личных встречах и выиграли у всех остальных. Тогда каждый из этой тройки круче всех, но никто из остальных участников их не круче.

Ответ: 3.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Разное. Оценка плюс пример, Разное. Турниры

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь