PDF-версии: 
В однокруговом турнире по настольному теннису участвовало 100 спортсменов, причем ни один из них не выиграл все матчи. Будем говорить, что игрок A круче игрока B, если A выиграл у B или найдется такой игрок C, что A выиграл у C, С выиграл у B. Каково наименьшее количество теннисистов, оказавшихся по итогам турнира круче всех остальных? Ничьих в теннисе не бывает.
Решение. Докажем вначале лемму: в произвольном турнире теннисист X, одержавший наибольшее число побед, круче всех. Действительно, пусть Y — другой участник турнира. Если теннисист X выиграл у Y, то он круче Y. В противном случае Y должен был проиграть кому-то из соперников, у которых X выиграл, иначе Y одержал бы больше побед, чем X. Мы снова получаем, что X круче Y, и лемма доказана.
Рассмотрим теперь турнир, удовлетворяющий у словию задачи. Пусть теннисист A одержал в нем наибольшее число побед. В Силу леммы A круче всех. Обозначим число побед A через k и заметим, что 
поскольку A выиграл не все матчи. Предположим, что A победил теннисистов 
и проиграл cоперникам 
Если учитывать только результаты игр между 
то в этом мини-турнире по лемме найдется участник C*, который круче всех. Кроме A проиграли. Таким образом, C* круче остальных участников всего турнира.
Заметим, что по условию C* должен проиграть кому-то из соперников. 
—
найдется теннисист D*, который круче всех. Кроме того, D* круче любого участника E не из этого мини-турнир а, поскольку D* выиграл у C*, а C* — у E. Значит, D* круче остальных участников всего турнира.
Таким образом, всегда существуют по крайней мере три теннисиста (A, C* и D*), которые круче всех. Приведем пример турнира, в котором таких участников ровно 3. Пусть трое теннисистов одержали по одной победе в личных встречах и выиграли у всех остальных. Тогда каждый из этой тройки круче всех, но никто из остальных участников их не круче.
Ответ: 3.
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.