РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2464 Добавить в вариант

На однокруговой турнир по настольному теннису подало заявку 16 человек. Когда было сыграно n матчей, оказалось, что среди любых трех теннисистов найдутся двое, уже сыгравших между собой. При каком наименьшем n такое возможно?

Спрятать решение

Решение.

Пусть теннисист A провел ровно k матчей, а все остальные участники  — не менее k матчей. Разобьем теннисистов на две группы: в первой  — сам A и те, с кем он сыграл, во второй те, с кем A не играл. Первая группа содержит $k плюс 1$ человек, и каждый из них провел не менее k игр. Тогда участники из этой группы провели не менее $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби k левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка$ матчей (в сумме каждая игра учитывается не более двух раз). Во вторую группу входит $15 минус k$ человек. Поскольку ни один из них не играл с A, они все должны были сыграть друг с другом, то есть провести по крайней мере $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 15 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 14 минус k правая круглая скобка$ матчей. Поэтому общее число игр не меньше, чем

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби k левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 15 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 14 минус k правая круглая скобка =k в квадрате минус 14 k плюс 105= левая круглая скобка k минус 7 правая круглая скобка в квадрате плюс 56 больше или равно 56.$

Таким образом, $n меньше 56$ нам не подходит.

Покажем теперь, что $n=56$ удовлетворяет условию задачи. Разобьем теннисистов на две группы по 8 человек, и пусть в обеих группах все участники сыграют друг с другом. В сумме получится ровно 56 матчей. Среди любых трех теннисистов найдутся двое из одной группы, и, значит, они уже сыграли между собой.

Ответ: 56.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Разное. Разбиения на пары и группы, Разное. Турниры

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь