PDF-версии: 
На однокруговой турнир по настольному теннису подало заявку 16 человек. Когда было сыграно n матчей, оказалось, что среди любых трех теннисистов найдутся двое, уже сыгравших между собой. При каком наименьшем n такое возможно?
Решение. Пусть теннисист A провел ровно k матчей, а все остальные участники — не менее k матчей. Разобьем теннисистов на две группы: в первой — сам A и те, с кем он сыграл, во второй те, с кем A не играл. Первая группа содержит 
человек, и каждый из них провел не менее k игр. Тогда участники из этой группы провели не менее 
матчей (в сумме каждая игра учитывается не более двух раз). Во вторую группу входит 
человек. Поскольку ни один из них не играл с A, они все должны были сыграть друг с другом, то есть провести по крайней мере 
матчей. Поэтому общее число игр не меньше, чем
Таким образом, 
нам не подходит.
Покажем теперь, что 
удовлетворяет условию задачи. Разобьем теннисистов на две группы по 8 человек, и пусть в обеих группах все участники сыграют друг с другом. В сумме получится ровно 56 матчей. Среди любых трех теннисистов найдутся двое из одной группы, и, значит, они уже сыграли между собой.
Ответ: 56.
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.