РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1619 Добавить в вариант

Найдите $дробь: числитель: S_1, знаменатель: S_2 конец дроби ,$ где

$S_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2018 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка конец дроби плюс ... плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в кубе конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;$

$S_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в кубе конец дроби плюс ... плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2018 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка конец дроби$

(в обеих суммах знаки чередуются так: +, +, −, +, +, −, +, +, −, ...).

Спрятать решение

Решение.

Для суммы $S_1$ имеем

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка конец дроби =S_1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в кубе конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \text .$

Решая это уравнение относительно $S_1,$ получим

$S_1= дробь: числитель: 1 минус 2 в степени левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка , знаменатель: 7 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка конец дроби$

(этот же результат можно получить, применяя формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии). Аналогично для суммы $S_2$ находим

$2 левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 2 S_2 минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 1=S_2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2018 правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка конец дроби равносильно S_2= дробь: числитель: 5 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 7 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка конец дроби .$

Поэтому $дробь: числитель: S_1, знаменатель: S_2 конец дроби = дробь: числитель: минус 1, знаменатель: 5 конец дроби = минус 0,2.$

Ответ: −0,2.

Аналоги к заданию № 1619: 1620 Все

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный) 1 этап, 2019 год

Классификатор: Алгебра. Суммы и произведения

Спрятать решение · Помощь