сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Числа x и y та­ко­вы, что вы­пол­ня­ют­ся ра­вен­ства  синус x плюс ко­си­нус y плюс ко­си­нус 3x = 0 и  синус 2y минус синус 2x = ко­си­нус 4x плюс ко­си­нус 2x. Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма  синус y плюс ко­си­нус x?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем вто­рое ра­вен­ство:

 синус 2 y=2 синус x ко­си­нус x плюс 2 ко­си­нус 3 x ко­си­нус x рав­но­силь­но синус 2 y=2 ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус 3 x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Под­став­ляя сюда  минус ко­си­нус y вме­сто  синус x плюс ко­си­нус 3 x, по­лу­ча­ем

 синус 2 y= минус 2 ко­си­нус x ко­си­нус y рав­но­силь­но 2 синус y ко­си­нус y плюс 2 ко­си­нус x ко­си­нус y=0 рав­но­силь­но ко­си­нус y левая круг­лая скоб­ка синус y плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0,

от­ку­да есть две воз­мож­но­сти.

1)  Когда  ко­си­нус x плюс синус y=0, т. е. ис­ко­мое вы­ра­же­ние об­ра­ща­ет­ся в ноль.

2)   ко­си­нус y=0. Тогда y= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n, где n при­над­ле­жит Z , а из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем, что

 синус x плюс ко­си­нус 3 x=0 рав­но­силь­но ко­си­нус 3 x= ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 3 x=x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, 3 x= минус x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . k при­над­ле­жит Z .

Тогда мак­си­маль­ное зна­че­ние суммы  синус y плюс ко­си­нус x при­ни­ма­ет­ся при y= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n  и x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k, где n, k при­над­ле­жит Z , и оно равно 1 плюс синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . Чтобы вы­чис­лить  синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , при­ме­ним фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла:

 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =1 минус 2 синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,

от­ку­да

 синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Итак, при за­дан­ных усло­ви­ях

\max левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс синус y пра­вая круг­лая скоб­ка =1 плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: 1 плюс синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби =1 плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За­да­ча све­де­на к ис­сле­до­ва­нию двух слу­ча­ев (как в ре­ше­нии) — 3 балла.

По­ка­за­но, что в одном из слу­ча­ев ис­ко­мая ве­ли­чи­на равна 0 —1 балл.

Разо­бран слу­чай, да­ю­щий ответ в за­да­че — 2 балла.

Не вы­чис­лен  синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби и пр. — баллы не сни­ма­ют­ся.

Ошиб­ка в три­го­но­мет­ри­че­ской фор­му­ле — 0 бал­лов за за­да­чу.

Не­вер­но ре­ше­но эле­мен­тар­ное три­го­но­мет­ри­че­ское урав­не­ние — не более 2 бал­лов за за­да­чу.


Аналоги к заданию № 1221: 1228 Все