Варианты заданий
Версия для печати и копирования в MS Word1
Мальчик Вася выписал в тетрадку ненулевые коэффициенты многочлена P(x) девятой степени. Затем у получившегося многочлена вычислил производную и выписал ее ненулевые коэффициенты, и так далее, пока не получилась константа, которую он выписал.
Какое наименьшее количество различных чисел у него могло получиться?
Коэффициенты выписываются с учетом знака, свободные члены так же выписываются, если имеется одночлен вида 
то выписывается 
назовём его a. Тогда старший коэффициент производной этого многочлена равен 
старший коэффициент второй производной равен 
и т. д., старшие коэффициенты восьмой и девятой производных равны 
причем все эти числа, кроме двух последних, различны, таким образом 9 различных чисел точно есть.
Легко доказать, что других примеров нет, впрочем, в задаче это не требуется.