сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Маль­чик Вася вы­пи­сал в тет­рад­ку не­ну­ле­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты мно­го­чле­на P(x) де­вя­той сте­пе­ни. Затем у по­лу­чив­ше­го­ся мно­го­чле­на вы­чис­лил про­из­вод­ную и вы­пи­сал ее не­ну­ле­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты, и так далее, пока не по­лу­чи­лась кон­стан­та, ко­то­рую он вы­пи­сал.

Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство раз­лич­ных чисел у него могло по­лу­чить­ся?

Ко­эф­фи­ци­ен­ты вы­пи­сы­ва­ют­ся с уче­том знака, сво­бод­ные члены так же вы­пи­сы­ва­ют­ся, если име­ет­ся од­но­член вида \pm x в сте­пе­ни n , то вы­пи­сы­ва­ет­ся \pm1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Оцен­ка: так как мно­го­член имеет сте­пень 9, у него со­вер­шен­но точно есть не­ну­ле­вой ко­эф­фи­ци­ент при x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 9 пра­вая круг­лая скоб­ка , назовём его a. Тогда стар­ший ко­эф­фи­ци­ент про­из­вод­ной этого мно­го­чле­на равен 9 a, стар­ший ко­эф­фи­ци­ент вто­рой про­из­вод­ной равен 9 умно­жить на 8 a и т. д., стар­шие ко­эф­фи­ци­ен­ты вось­мой и де­вя­той про­из­вод­ных равны 9 ! a, при­чем все эти числа, кроме двух по­след­них, раз­лич­ны, таким об­ра­зом 9 раз­лич­ных чисел точно есть.

При­мер:

 дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 9 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 9 ! конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 8 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 8 ! конец дроби плюс \ldots плюс x плюс 1

даёт нам ровно 9 раз­лич­ных чисел, так как каж­дый сле­ду­ю­щий од­но­член про­из­вод­ная Преды­ду­ще­го.

Также под­хо­дит любой мно­го­член про­пор­ци­о­наль­ный дан­но­му, а также от­ли­ча­ю­щий­ся от про­пор­ци­о­наль­но­го дан­но­му вычёрки­ва­ни­ем не­ко­то­рых од­но­чле­нов, на­при­мер x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 9 пра­вая круг­лая скоб­ка . Легко до­ка­зать, что дру­гих при­ме­ров нет, впро­чем, в за­да­че это не тре­бу­ет­ся.

 

Ответ: 9.


Аналоги к заданию № 785: 879 Все