Даны три окружности радиусов 1, 2 и 3, попарно касающиеся друг друга в точках A, B и C внешним образом. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Решение. Введём следующие обозначения: у первой окружности: центр — точка 
радиус равен a; у второй окружности: центр — точка 
радиус равен b; у третьей окружности: центр — точка 
радиус равен c. Так как точки A, B, C являются точками касания двух окружностей из трех, то эти точки лежат на отрезках 
Не теряя общности, можно считать, что точка A лежит на отрезке 
точка B — на 
точка C — на 
Tor да по теореме косинусов для треугольника 
Тогда
Аналогично, для двух других углов:
Обозначим за d следующее выражение:
По теореме косинусов из треугольника 
Аналогично по теореме косинусов для треугольников 
и 
и 
Тогда по формуле Герона, где S — площадь треугольника ABC:
Toгда
Значит, радиус вписанной окружности можно вычислить по следующей формуле, где r — радиус вписанной окружности ABC, p — полупериметр треугольника ABC:
Подставим значения радиусов окружностей из условия и получим, что радиус вписанной окружности треугольника АВС следующий:
Ответ: 
Ответ: Аналоги к заданию № 717: 725 Все
