сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Даны три окруж­но­сти ра­ди­у­сов 2, 3 и 5, по­пар­но ка­са­ю­щи­е­ся друг друга в точ­ках A, B и C внеш­ним об­ра­зом. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Введём сле­ду­ю­щие обо­зна­че­ния: у пер­вой окруж­но­сти: центр  — точка O_1, ра­ди­ус равен a; у вто­рой окруж­но­сти: центр  — точка O_2, ра­ди­ус равен b; у тре­тьей окруж­но­сти: центр  — точка O_3, ра­ди­ус равен c. Так как точки A, B, C яв­ля­ют­ся точ­ка­ми ка­са­ния двух окруж­но­стей из трех, то эти точки лежат на от­рез­ках O_1O_2, O_1 O_3, O_2O_3. Не теряя общ­но­сти, можно счи­тать, что точка A лежит на от­рез­ке O_2 O_3, точка B  — на O_1 O_3, точка C  — на O_1 O_2. Tor да по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка  O_1 O_2 O_3 . Тогда

 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка O_2 O_1 O_3 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =1 минус дробь: чис­ли­тель: 2 b c, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Ана­ло­гич­но, для двух дру­гих углов:

 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка O_1 O_2 O_3 пра­вая круг­лая скоб­ка =1 минус дробь: чис­ли­тель: 2 a c, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби ,

 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка O_2 O_3 O_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =1 минус дробь: чис­ли­тель: 2 a b, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Обо­зна­чим за d сле­ду­ю­щее вы­ра­же­ние:

d= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a b c конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та конец дроби .

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка O_1 B C:

 B C= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 2 a в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 2 b c, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 4 a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та b c, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс c конец ар­гу­мен­та умно­жить на d .

Ана­ло­гич­но по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ков  O_2 AC и O_3 AB: A C=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс c конец ар­гу­мен­та умно­жить на d и A B=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс b конец ар­гу­мен­та умно­жить на d. Тогда по фор­му­ле Ге­ро­на, где S  — пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

S в квад­ра­те =d в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на

 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс c конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс c конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =
= d в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус a левая круг­лая скоб­ка b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a левая круг­лая скоб­ка b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс c конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =
= d в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 b c плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс c конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 2 b c плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс c конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =
= d в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4 b c левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4 b в квад­ра­те c в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = d в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка 4 b c левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка минус b c пра­вая круг­лая скоб­ка =d в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка 4 a b c левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка .

Toгда

S=2 d в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a b c конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс b плюс c конец ар­гу­мен­та .

Зна­чит, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти можно вы­чис­лить по сле­ду­ю­щей фор­му­ле, где r  — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти ABC, p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC:

 r= дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: p конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 d в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a b c конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс b плюс c конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: d левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 2 a b c ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс b плюс c конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Под­ста­вим зна­че­ния ра­ди­у­сов окруж­но­стей из усло­вия и по­лу­чим, что ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АВС сле­ду­ю­щий:

 r= дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 2 умно­жить на 3 умно­жить на 5 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс 3 плюс 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 умно­жить на 7 умно­жить на 8 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 30, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 9 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та минус 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 9 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та минус 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби .


Аналоги к заданию № 717: 725 Все