Даны три окружности радиусов 3, 5 и 7, попарно касающиеся друг друга в точках A,B и C. Найдите сумму расстояний от центра описанной окружности треугольника ABC до его сторон.
Решение.
Введём следующие обозначения: у первой окружности: центр точка радиус равен у второй окружности: центр — точка радиус равен b; у третьей окружности: центр — точка радиус равен c. Так как точки A, B, C являются точками касания двух окружностей из трех, то эти точки лежат на отрезках Не теряя общности, можно считать, что точка A лежит на отрезке точка B — на точка C — на Центр описанной окружности треугольника ABC обозначим за O.
Стороны треугольника равны 8, 10 и 12. Точки A, B и C делят стороны треугольника так же, как должны делить точки касания вписанной окружности, значит, это они и есть. Таким образом, описанная окружность треугольника ABC — это вписанная окружность треугольника Посчитаем её радиус, поделив площадь треугольника вычисленную по фор муле Герона, на её полупериметр:
Треугольники и OBC равнобедренные с основанием BC, точки O и лежат не серединном перпендикуляре к ВС. Тогда по теореме Пифагора получаем
Обозначим середину BC за В прямоугольном треугольнике эта точка — основание высоты, опущенной из прямого угла, откуда
радиус равен 
у второй окружности: центр — точка 
радиус равен b; у третьей окружности: центр — точка 
радиус равен c. Так как точки A, B, C являются точками касания двух окружностей из трех, то эти точки лежат на отрезках 
Не теряя общности, можно считать, что точка A лежит на отрезке 
точка B — на 
точка C — на 
Центр описанной окружности треугольника ABC обозначим за O.
Посчитаем её радиус, поделив площадь треугольника 
вычисленную по фор муле Герона, на её полупериметр: 
и OBC равнобедренные с основанием BC, точки O и 
лежат не серединном перпендикуляре к ВС. Тогда по теореме Пифагора получаем 
В прямоугольном треугольнике 
эта точка — основание высоты, опущенной из прямого угла, откуда 
а 
а 
