Дан многочлен Можно ли, переставив коэффициенты в нем, получить многочлен такой, что для всех натуральных чисел разность F(k) − G(k) не кратна 2020?
Решение.
Предположим противное и пусть такой многочлен Q(x) существует. Будем пользоваться следующей известной леммой: если H(x) — многочлен с целыми коэффициентами, то для любых целых а и b число делится на a – b. Тогда числа и делятся на 2020, а тогда на 2020 делится и их разность:
Осталось заметить, что
то есть делится на 2020. Противоречие.
Ответ: нет, нельзя.
Приведем другое решение.
Предположим противное. Будем писать сравнения по модулю 2020. Тогда
откуда то есть делится на 2020. Противоречие.
Критерии проверки:
Критерии оценивания
Балл
Верное решение без существенных недочетов
+
В целом задача решена, хотя и с недочетами
+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение
− +
Задача не решена, заметных продвижений нет
Можно ли, переставив коэффициенты в нем, получить многочлен 
такой, что для всех натуральных чисел 
разность F(k) − G(k) не кратна 2020?
делится на a – b. Тогда числа 
и 
делятся на 2020, а тогда на 2020 делится и их разность: 
делится на 2020. Противоречие. 
то есть