сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дан мно­го­член

F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =1 плюс 2x плюс 3x в квад­ра­те плюс 4x в кубе плюс ... плюс 100x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 99 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Можно ли, пе­ре­ста­вив ко­эф­фи­ци­ен­ты в нем, по­лу­чить мно­го­член

G левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =g_0 плюс g_1x плюс g_2x в квад­ра­те плюс g_3x в кубе плюс ... плюс g_99x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 99 пра­вая круг­лая скоб­ка

такой, что для всех на­ту­раль­ных чисел k боль­ше или равно 2 раз­ность F(k) − G(k) не крат­на 100?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пред­по­ло­жим про­тив­ное и пусть такой мно­го­член G(x) су­ще­ству­ет. Будем поль­зо­вать­ся сле­ду­ю­щей из­вест­ной лем­мой: если H(x)  — мно­го­член с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, то для любых целых a и b число H левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка минус H левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка де­лит­ся на a – b. Тогда числа F левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка минус F левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка и G левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка минус G левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка де­лят­ся на 100, а тогда на 100 де­лит­ся и их раз­ность:

 левая круг­лая скоб­ка F левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка минус F левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка G левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка минус G левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка F левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка минус G левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка F левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус G левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Оста­лось за­ме­тить, что F левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =1 плюс 2 плюс \ldots плюс 100=G левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , то есть F левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка минус G левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка де­лит­ся на 100. Про­ти­во­ре­чие.

 

Ответ: нет, нель­зя.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пред­по­ло­жим про­тив­ное. Будем пи­сать срав­не­ния по мо­ду­лю 100. Тогда

F левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка =1 плюс 2 умно­жить на 101 плюс 3 умно­жить на 101 в квад­ра­те плюс \ldots плюс 100 умно­жить на 101 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 99 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 1 плюс 2 умно­жить на 1 плюс 3 умно­жить на 1 в квад­ра­те плюс \ldots плюс 100 умно­жить на 1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 99 пра­вая круг­лая скоб­ка =
=g_0 плюс g_1 плюс \ldots плюс g_99 \equiv g_0 плюс g_1 умно­жить на 101 плюс g_2 умно­жить на 101 в квад­ра­те плюс \ldots плюс g_99 умно­жить на 101 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 99 пра­вая круг­лая скоб­ка =G левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да F левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv G левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка , то есть F левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка минус G левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка де­лит­ся на 100. Про­ти­во­ре­чие.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­нияБалл
Вер­ное ре­ше­ние без су­ще­ствен­ных не­до­че­тов+
В целом за­да­ча ре­ше­на, хотя и с не­до­че­та­ми+ −
За­да­ча не ре­ше­на, но есть за­мет­ное про­дви­же­ние− +
За­да­ча не ре­ше­на, за­мет­ных про­дви­же­ний нет
За­да­ча не ре­ша­лась0

Аналоги к заданию № 4549: 4559 Все