РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3974 Добавить в вариант

Восьмизначное натуральное число A, записанное в десятичной системе счисления, получается из числа B перестановкой последней цифры на первое место. Известно, что число B взаимно просто с числом 12 и $B больше 44 444 444.$ Найти наибольшее и наименьшее среди чисел A, удовлетворяющих этим условиям. (Два натуральных числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от единицы).

Решение.

Очевидно, что последняя цифра числа B не может быть нулем, так как при перестановке она становится первой цифрой числа A. Заметим, что $B=2 в квадрате умножить на 3,$ поэтому число B будет взаимно простым с 12 в том и только том случае, если оно не делится ни на 2 , ни на 3.

Если b  — последняя цифра числа B, то число

$A=10 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка умножить на b плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби умножить на левая круглая скобка B минус b правая круглая скобка$

(ясно, что $B минус b$ делится на 10).

Очевидно, что чем больше последняя цифра числа B, тем большее число A ему соответствует. Для того, чтобы A было наибольшим, необходимо, чтобы последняя цифра числа B принимала наибольшее возможное значение, т. е. $b=9.$

Если B' и B оканчиваются на 9 и $B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка больше B,$ то

$A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби умножить на левая круглая скобка B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка больше 9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби умножить на левая круглая скобка B минус 9 правая круглая скобка =A .$

Значит, чем больше число B, тем большее число A ему соответствует (для чисел B, оканчивающихся девяткой).

Наибольшее возможное значение B равно 99 999 999. Это число не делится на 2, но делится всем условиям: оканчивается на 9, взаимно просто с 12 и является наибольшим среди всех таких чисел. Следовательно, ему соответствует наибольшее возможное число $A_\max =999 999 998.$

Аналогично определяется наименьшее число: первая цифра A (т. е. последняя цифра B) должна быть наименьшей возможной, поэтому $b=1.$ Среди чисел B, оканчивающихся единицей, наименьшее A соответствует наименьшему B. Если последняя цифра  — единица, то самое маленькое число, которое удовлетворяет неравенству $B больше 44 444 444,$ это 44 444 451. Но оно делится на 3, так как сумма цифр равна 30. Изменяя предпоследнюю цифру на 1, получим число $B=44 444 461,$ которое удовлетворяет всем условиям: оканчивается единицей, взаимно просто с 12 и является наименьшим среди всех таких чисел. Ему соответствует наименьшее возможное число $A_\min =14 444 446 .$

Ответ: $A_\min =14 444 446,$ $A_\max =99 999 998.$

Аналоги к заданию № 3969: 4050 3974 3979 Все

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 3979 Добавить в вариант

Девятизначное натуральное число A, записанное в десятичной системе счисления, получается из числа B перестановкой последней цифры на первое место. Известно, что число B взаимно просто с числом 24 и $B больше 666 666 666.$ Найти наибольшее и наименьшее из чисел A, удовлетворяющих этим условиям. (Два натуральных числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от единицы).

Решение.

Очевидно, что последняя цифра числа B не может быть нулем, так как при перестановке она становится первой цифрой числа A. Заметим, что $24=2 в кубе умножить на 3,$ поэтому число B будет взаимно простым с 24 в том и только том случае, если оно не делится ни на 2, ни на 3. Если b  — последняя цифра числа B, то число A выражается через B с помощью формулы $A=10 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка умножить на b плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби умножить на левая круглая скобка B минус b правая круглая скобка$ (ясно, что $B минус b$ делится на 10). Очевидно, что чем больше последняя цифра числа B, тем большее число A ему соответствует. Для того, чтобы A было наибольшим, необходимо, чтобы последняя цифра числа B принимала наибольшее возможное значение, т. е. $b=9.$ Если B' и B оканчиваются на 9 и $B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка больше B,$ то

$A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1 , знаменатель: 10 конец дроби умножить на левая круглая скобка B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка больше 9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби умножить на левая круглая скобка B минус 9 правая круглая скобка =A.$

Значит, чем больше число B, тем большее число A ему соответствует (для чисел B, оканчивающихся девяткой).

Наибольшее возможное девятизначное число равно 999 999 999. Это число не делится на 2, но делится на 3. У менышим предпоследнюю цифру на 1 и получим $B=999 999 989.$ Это число удовлетворяет всем условиям: оканчивается на 9, взаимно просто с 24 и является наибольшим среди всех таких чисел. Следовательно, ему соответствует наибольшее возможное число $A_\max =999 999 998 .$

Аналогично определяется наименьшее число: первая цифра A (т. е. последняя цифра B) должна быть наименьшей возможной, поэтому $b=1.$ Среди чисел B, оканчивающихся единицей, наименьшее A соответствует наименьшему B. Если последняя цифра  — единица, то самое маленькое число, удовлетворяющее неравенству $B больше 666 666 666,$ это 666 666 671. Оно удовлетворяет всем условиям: оканчивается единицей, взаимно просто с 24 и является наименьшим среди всех таких чисел. Ему соответствует наименьшее возможное число $A_\min =166 666 667.$

Ответ: $A_\min =166 666 667,$ $A_\max =999 999 998.$

Аналоги к заданию № 3969: 3974 3979 Все

Решение · Критерии · Помощь