сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Де­вя­ти­знач­ное на­ту­раль­ное число A, за­пи­сан­ное в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния, по­лу­ча­ет­ся из числа B пе­ре­ста­нов­кой по­след­ней цифры на пер­вое место. Из­вест­но, что число B вза­им­но про­сто с чис­лом 18 и B боль­ше 222 222 222. Найти наи­боль­шее и наи­мень­шее среди чисел A, удо­вле­тво­ря­ю­щих этим усло­ви­ям. (Два на­ту­раль­ных числа на­зы­ва­ют­ся вза­им­но про­сты­ми, если они не имеют общих де­ли­те­лей, от­лич­ных от еди­ни­цы).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Оче­вид­но, что по­след­няя цифра числа B не может быть нулем, так как при пе­ре­ста­нов­ке она ста­но­вит­ся пер­вой циф­рой числа A. За­ме­тим, что 18=2 умно­жить на 3 в квад­ра­те , по­это­му число B будет вза­им­но про­стым с 18 в том и толь­ко том слу­чае, если оно не де­лит­ся ни на 2, ни на 3. Если b  — по­след­няя цифра числа B, то число A вы­ра­жа­ет­ся через B с по­мо­щью фор­му­лы

A=10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 8 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на b плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка B минус b пра­вая круг­лая скоб­ка ,

ясно, что B минус b де­лит­ся на 10).

Оче­вид­но, что чем боль­ше по­след­няя цифра числа B, тем боль­шее число A ему со­от­вет­ству­ет. Для того, чтобы A было наи­боль­шим, не­об­хо­ди­мо, чтобы по­след­няя цифра числа B при­ни­ма­ла наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние, т. е. b=9. Если B' и B окан­чи­ва­ют­ся на 9 и B' боль­ше B, то

A в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка =9 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 8 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка B в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 9 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 8 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка B минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка =A.

Зна­чит, чем боль­ше число B, тем боль­шее число A ему со­от­вет­ству­ет (для чисел B, окан­чи­ва­ю­щих­ся де­вят­кой).

Наи­боль­шее воз­мож­ное де­вя­ти­знач­ное число равно 999 999 999. Это число не де­лит­ся на 2, но де­лит­ся на 3. Умень­шим пред­по­след­нюю цифру на 1 и по­лу­чим B=999 999 989. Это число удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям: окан­чи­ва­ет­ся на 9, вза­им­но про­сто с 18 и яв­ля­ет­ся наи­боль­шим среди всех таких чисел. Сле­до­ва­тель­но, ему со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее воз­мож­ное число A_\max =999 999 998 .

Ана­ло­гич­но опре­де­ля­ет­ся наи­мень­шее число: пер­вая цифра A (т. е. по­след­няя цифра B) долж­на быть наи­мень­шей воз­мож­ной, по­это­му b=1. Среди чисел B, окан­чи­ва­ю­щих­ся еди­ни­цей, наи­мень­шее A со­от­вет­ству­ет наи­мень­ше­му B. Если по­след­няя цифра  — еди­ни­ца, то самое ма­лень­кое число, удо­вле­тво­ря­ю­щее не­ра­вен­ству B боль­ше 222 222 222,  — это 222 222 231. Но сумма цифр та­ко­го числа равна 18 и оно де­лит­ся на 3. Из­ме­няя пред­по­след­нюю цифру на 1, по­лу­чим число B= 222 222 241, ко­то­рое удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям: окан­чи­ва­ет­ся еди­ни­цей, вза­им­но про­сто с 18 и яв­ля­ет­ся наи­мень­шим среди всех таких чисел. Ему со­от­вет­ству­ет наи­мень­шее воз­мож­ное число A_\min =122 222 224.

 

Ответ: A_\min =122 222 224, A_\max =999 999 998.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Вер­ный ответ по­лу­чен, но не при­ве­де­но обос­но­ва­ние — 1−2 балла.

Ре­ше­ние при­ве­де­но, но имеет про­бе­лы, не­точ­но­сти или ариф­ме­ти­че­ские ошиб­ки — 3−6 бал­лов.

При­ве­де­но пол­ное ло­ги­че­ски обос­но­ван­ное ре­ше­ние и по­лу­чен вер­ный ответ — 7−8 бал­лов.


Аналоги к заданию № 3969: 3974 3979 Все