РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3001 Добавить в вариант

Олимпиада Шаг в будущее, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Задачи, где в условии вектор, Методы геометрии. Применение векторов и/или координат, Методы геометрии. Терема Чевы, Менелая, Ван-Обеля

На окружности с равными интервалами расположены 5 точек A, B, C, D и E. Даны два вектора $\overrightarrowDA=\veca,$ $\overrightarrowDB=\vecb.$ Выразите вектор $\overrightarrowAC$ через $\veca$ и $\vecb.$

Решение.

Прямая ВЕ пересекает АС и АD в точках F и М, соответственно. Рассмотрим замкнутую ломаную ВКDMAFB. По Теореме Менелая:

$дробь: числитель: B K, знаменатель: K D конец дроби умножить на дробь: числитель: F M, знаменатель: B F конец дроби умножить на дробь: числитель: AD, знаменатель: MA конец дроби =1.$

Пусть $K B=x,$ $F M=y,$ тогда из условия симметрии точек A, B, C, D и Е следует, что

$M A=AF=B F=BK=KC=x,$ $\quad K F=F M=y,$ $\quad DK=K A=B M=DM=x плюс y,$

то есть

$дробь: числитель: x, знаменатель: x плюс y конец дроби умножить на дробь: числитель: y, знаменатель: x конец дроби умножить на дробь: числитель: 2 x плюс y, знаменатель: x конец дроби =1$

или $x в квадрате плюс x y=2 x y плюс y в квадрате .$ Решим полученное однородное уравнение и получим

$дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Выразим вектор $\overrightarrowA K=\overrightarrowD K минус \overrightarrowDA$ через $\veca$ и $\vecb:$

$\overrightarrowA K= дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2x плюс y конец дроби \vecb минус \veca= дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 4 плюс 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби \vecb минус \veca= дробь: числитель: корень из 5 минус 1, знаменатель: 2 конец дроби \vecb минус \veca.$

Так как, $\overrightarrowAC= дробь: числитель: 2 x плюс y, знаменатель: x плюс y конец дроби \overrightarrowA K,$ то получаем ответ

$\overrightarrowA C= дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 3 плюс корень из 5 конец дроби \overrightarrowA K= дробь: числитель: левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 5 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби \vecb минус дробь: числитель: левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби \veca =\vecb минус дробь: числитель: левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби \veca.$ $\overrightarrowA C= дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 3 плюс корень из 5 конец дроби \overrightarrowA K=$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 5 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби \vecb минус дробь: числитель: левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби \veca =\vecb минус дробь: числитель: левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби \veca.$

Ответ: $\overrightarrowAC=\vecb минус дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби \veca .$

Критерии проверки:

Баллы
15	Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи.
12	При верном и обоснованном ходе решения имеется арифметическая ошибка в конце решения или решение недостаточно обосновано.
6	Верно начато решение задачи, доказано, что уравнение имеет четыре корня, дальнейшее решение отсутствует.
0	Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям.

Аналоги к заданию № 2990: 3001 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе