сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

На окруж­но­сти с рав­ны­ми ин­тер­ва­ла­ми рас­по­ло­же­ны 5 точек A, B, C, D и E. Даны два век­то­ра \overrightarrowDA=\veca, \overrightarrowDB=\vecb. Вы­ра­зи­те век­тор \overrightarrowAC через \veca и \vecb.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пря­мая ВЕ пе­ре­се­ка­ет АС и АD в точ­ках F и М, со­от­вет­ствен­но. Рас­смот­рим за­мкну­тую ло­ма­ную ВКDMAFB. По Тео­ре­ме Ме­не­лая:

дробь: чис­ли­тель: B K, зна­ме­на­тель: K D конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: F M, зна­ме­на­тель: B F конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: AD, зна­ме­на­тель: MA конец дроби =1.

Пусть K B=x, F M=y, тогда из усло­вия сим­мет­рии точек A, B, C, D и Е сле­ду­ет, что

M A=AF=B F=BK=KC=x, \quad K F=F M=y, \quad DK=K A=B M=DM=x плюс y,

то есть

дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: x плюс y конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: x конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 x плюс y, зна­ме­на­тель: x конец дроби =1

или x в квад­ра­те плюс x y=2 x y плюс y в квад­ра­те . Решим по­лу­чен­ное од­но­род­ное урав­не­ние и по­лу­чим

дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: y конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Вы­ра­зим век­тор \overrightarrowA K=\overrightarrowD K минус \overrightarrowDA через \veca и \vecb:

\overrightarrowA K= дробь: чис­ли­тель: x плюс y, зна­ме­на­тель: 2x плюс y конец дроби \vecb минус \veca= дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби \vecb минус \veca= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 5 минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \vecb минус \veca.

Так как, \overrightarrowAC= дробь: чис­ли­тель: 2 x плюс y, зна­ме­на­тель: x плюс y конец дроби \overrightarrowA K, то по­лу­ча­ем ответ

\overrightarrowA C= дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 плюс ко­рень из 5 конец дроби \overrightarrowA K= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 5 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \vecb минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \veca =\vecb минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \veca.

Ответ: \overrightarrowAC=\vecb минус дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \veca .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Баллы
15Обос­но­ван­ное и гра­мот­но вы­пол­нен­ное ре­ше­ние за­да­чи.
12При вер­ном и обос­но­ван­ном ходе ре­ше­ния име­ет­ся ариф­ме­ти­че­ская ошиб­ка в конце ре­ше­ния или ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.
6Верно на­ча­то ре­ше­ние за­да­чи, до­ка­за­но, что урав­не­ние имеет че­ты­ре корня, даль­ней­шее ре­ше­ние от­сут­ству­ет.
0Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет вы­ше­пе­ре­чис­лен­ным тре­бо­ва­ни­ям.

Аналоги к заданию № 2990: 3001 Все

Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024