Всего: 826 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
треугольника, каждые два из которых отделены друг от друга хотя бы одной из проведённых плоскостей. А поскольку все проведённые плоскости пересекаются в центре куба, то каждая часть содержит в качестве одной из своих граней один из этих 24 треугольников. Следовательно, число частей разбиения также равно 
и 
и 
находим 
и 
Вершины A', B' и
при гомотетии с центром S и коэффициентом 2. С учётом условия задачи это означает, что отношение объёмов пирамид SABC и SS1S2S3 равно 
А поскольку у этих пирамид общая высота SO, то и отношение площади треугольника ABC к площади треугольника S1S2S3 равно 
В качестве следствия получается равенство 
которое будет нами использовано.
точкой, симметричной S относительно соответствующей биссекторной плоскости будем считать S1. Тогда 
где 
откуда
то
и 
левая часть последнего равенства равна 
что позволяет найти 
и 
для 
Найдите сумму 
А поскольку
или 
На сторонах BC, CA и AB неравнобедренного треугольника ABC выбраны точки L, M и N соответственно. Биссектриса угла ABC и серединный перпендикуляр к отрезку NL пересекаются в точке P. Известно, что 
и
Найдите длину отрезка MP.
и 
следуют равенства 
и 
соответственно, то 
и равнобедренность треугольника LPN, нетрудно найти углы 
и 
Применив теорему синусов, получим 
таково, что неравенства 
выполняются ровно при пяти натуральных значениях n. При скольких натуральных значениях n могут выполняться неравенства 
Полагая 
неравенства 
а неравенства 
—
Согласно условию, для некоторого натурального числа m выполнены неравенства 
обязательно удовлетворяет четвёрка чисел 
имеем 
и 
число m равно 6 и выполняются неравенства 
то 
и 
В стране 20 городов, некоторые из которых соединены авиалиниями. Беспосадочный перелёт из A в 5 назовём централизующим, если из 5 можно в большее, чем из A, число городов долететь без пересадки. Какое наибольшее число городов может насчитывать авиамаршрут, все перелёты на котором централизующие?
и все перелёты на котором централизующие. Ясно, что тогда 
невозможно, поскольку имело бы своими следствиями взаимоисключающие равенства 
и 
и 
Тогда 
...,
то есть город A17 соединён либо с A1, либо с A2. Но A1 соединён с A2 и A18, а A2 — с A1, A3 и A18.
Тогда 
A1 соединён с A2; 
A2 соединён с A1 и A3. Получается, что город A18 не соединён ни с A1, ни с A2, а тогда равенство 
невозможно. Итак, 
Приведём пример системы авиалиний, для которой все перелёты на маршруте, проходящем последовательно через города A1, 
причём 
Поэтому можно полагать, что было 
мужчин и 
женщин, где m — некоторое натуральное число. После сокращения осталось 
мужчин среди 
делит 8, откуда 
и, соответственно, 
частей
части
часть.
и 
и 
Косинус двугранного угла при каждом из рёбер AB, BC, CD и DA основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 0,8. Точки K, L, M и N являются проекциями точки S на биссекторные плоскости при рёбрах основания. Найдите отношение объёма многогранника SKLMN к объёму пирамиды SABCD.
и
тогда как площадь квадрата ABCD, сторона которого вдвое длиннее отрезка OP, равна 
Значит, отношение площадей равно 
объём пирамиды SABCD. Остаётся заметить, что многогранник SKLMN, будучи образом пирамиды SK1L1M1N1 при гомотетии с центром S и коэффициентом 
имеет объём, равный 
объёма пирамиды SK1L1M1N1. Перемножим 
получим ответ — 
и 
Найдите a100.
то 
На сторонах BC, CA и AB остроугольного неравнобедренного треугольника ABC выбраны точки L, M и N соответственно. B треугольнике LMN проведена высота MP. Известно, что 
и что биссектриса угла ABC проходит через середину отрезка MP. Найдите величину угла ABC.
следует, что прямая MP — серединный перпендикуляр к отрезку LN; с учётом условия 
это означает, что Q — середина дуги NL описанной окружности треугольника NBL, причём дуга не содержит точку B. По
получаем равенство
и 
таково, что неравенства 
выполняются ровно при четырёх натуральных значениях n. При скольких натуральных значениях n могут выполнятся неравенства 
неравенства 
а неравенства 
—
Согласно условию, для некоторого натурального числа m выполнены неравенства
обязательно удовлетворяют числа 2m, 
и, возможно, одно или оба числа пары 
имеем 
и 
число m также равно 4, но
получается 
В турнире 20 шахматистов, каждый сыграл по одной партии с каждым из остальных. В итоге нашлась цепочка участников
A1, 
очка больше, чем предыдущий. Каким наибольшим могло быть число n? За выигрыш партии начисляется 1 очко, за ничью 
за поражение 0.
то 
для 
а сумма 
равна 
Отметим также, что всего в турнире сыграно 
партий и, соответственно, разыграно 190 очков; поэтому 
это равенство приобретает вид 
откуда 
Но число набранных шахматистом очков не может быть таким.
получается равенство 
Покажем, что результаты турнирных партий могли быть такими, что некоторые 19 игроков A1, 
(то есть оставшийся, 20-й, шахматист проиграл все свои партии), а при 
участник Ai выиграл у Aj в том и только в том случае, если выполнено неравенство 
Легко убедиться, что тогда 
для 
а невозможность равенства 
а пример для 
Найдите все возможные значения суммы 
Следовательно, числитель дроби равен 0 , а разность 
не равна 0 по условию, поэтому равна 0 первая скобка, то есть сумма 
Представить число 100 в виде суммы максимально возможного количества различных попарно взаимно простых натуральных чисел. Пояснение: условие означает, что наибольший общий делитель любых двух чисел, использованных в сумме, равен 1.
количество слагаемых — 9 — при этом максимально возможное. Если бы сто являлось суммой не менее, чем десяти различных попарно взаимно простых натуральных чисел, то в силу попарной взаимной простоты простые множители у любых двух из них были бы различны. Оставив от каждого не равного 1 числа любой его простой делитель, мы бы получили десять или больше различных чисел, каждое из которых простое кроме, возможно одного, равного 1, сумма которых не превосходит 100. Последнее невозможно. поскольку сумма десяти наименьших простых чисел равна 
а сумма 1 и девяти наименьших простых чисел равна 
3 балла.B выпуклом четырёхугольнике ABCD обозначим за P и R середины сторон AB и CD соответственно, а за Q и S — середины диагоналей BD и AC соответственно. Докажите, что, если отрезки PR и QS перпендикулярны, то длины сторон BC и AD четырёхугольника равны.
В какое наименьшее число цветов можно окрасить все клетки квадрата 6 на 6 так, чтобы в каждой горизонтали, вертикали и диагонали квадрата все клетки имели разный цвет? Пояснение: под диагональю квадрата понимаются все ряды из не менее, чем двух клеток, идущие диагонально от одного края квадрата до другого под углом 45º или 135º к горизонтали.