Всего: 58 1–20 | 21–40 | 41–58
Добавить в вариант
Можно ли утверждать, что ABCD — прямоугольник, если известно, что: 
следует, что 
Так как площади треугольников ABC и ABD равны (они равны половине площади параллелограмма). По условию, 
значит, 
следовательно, 
Поскольку диагонали параллелограмма равны, 
(в треугольнике ABC) и 
(в треугольнике ABD). Поскольку 
а синусы углов A и B равны (так как углы в сумме составляют 180°), опять получаем равенство диагоналей.
(вертикальные), 
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы LAO и OAK равны, AO — общая, следовательно, треугольники равны, откуда 
Аналогично из равенства треугольников COM и COK получаем 
а из равенства треугольников BOL и 
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр: 
и 
Точка E на прямой AB выбрана так, что 
Найти AE.
следовательно, треугольник DEC — равнобедренный и 
Из прямоугольного треугольника BEC с гипотенузой 
и катетом 
по теореме Пифагора найдем BE: 
то есть не выполняется условие задачи.
и 
Точка E на прямой AB выбрана так, что 
Из прямоугольного треугольника BEC с гипотенузой 
и катетом 
по теореме Пифагора найдем BE: 
и 
Периметр параллелограмма равен 40, поэтому 
откуда
и 
и 
Периметр параллелограмма равен 40, поэтому 
и 
отсюда 
и 
и 
Сторона квадрата равна 2. Середины сторон этого квадрата соединили отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с исходным, и т. д. Найти сумму площадей этих квадратов.
(т. Пифагора), его площадь равна 2. 
его площадь равна 
его площадь равна 
И т. д. 
то есть 
Так как 
равны, значит, четырёхугольник АРMB — вписанный. Следовательно, углы АМВ и АРВ равны, как вписанные, опирающиеся на общую дугу АВ. Заметим, что APMD тоже параллелограмм, тогда стороны АP и РВ угла АРB параллельны сторонам угла MD и MC угла DMC, как противоположные стороны в параллелограммах APMD и ВРMC соответственно. Следовательно, углы 
и DMC равны.В окружность вписан четырехугольник ABCD. Прямые AB и CD пересекаются в точке M, а прямые BC и AD — в точке N. Пусть B1 точка пересечения данной окружности с окружностью, проходящей через точки B, M и N, отличная от B. В каком отношении прямая B1D делит отрезок MN?
Равными будут и вписанные углы BB1K и BNK как опирающиеся на дугу BMK, то есть 
поэтому 
Это означает, что отрезки MC и NK параллельны. 
и 
Так как 
отсюда следует, что 
и, значит, отрезки MK и ND параллельны. 
Поэтому отрезки EK и FC равны и параллельны, откуда следует, что четырехугольник EKCF параллелограмм. Тогда отрезок CK параллелен отрезку EF.Через вершину C равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) с острым углом при вершине A провели перпендикуляр к BC и на этом перпендикуляре отметили точку P, лежащую с той же стороны от прямой BC, что и A, с той же стороны от прямой AB, что и точка C. Точка D такова, что ABPD — параллелограмм. M — точка пересечения прямой PC и отрезка AD. Найдите отношение 
Четырехугольник AMPQ — параллелограмм, следовательно, 
Но, поскольку по условию 
получаем, что 
Найдите длину отрезка CL, если BL = 10 и DL = 13.
(второе равенство следует из параллельности AD и BC), поэтому 
(см. рис.).
(второе равенство следует из параллельности AB и CD), то есть треугольник BCK является равнобедренным 
Видим, что CL — высота в равнобедренном треугольнике, поэтому также является и его биссектрисой.
откуда 
Следовательно, L является серединой стороны AD, откуда находим 
Осталось применить теорему Пифагора для треугольника BLC и получить 
Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD. Прямая CM наклонена к основанию AD под углом 30°. Вершина B равноудалена от прямой CM и вершины A. Найти углы параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, если длина основания AD равна 2.
Так как сторона BC параллельна стороне AD, то 
Отсюда следует, что 
Теперь рассмотрим треугольник MDC. Так как
Тогда 
Значит, ABCT — параллелограмм, то есть T совпадает с D. 
то есть ND — биссектриса угла ANC. C другой стороны, 
то есть NT — тоже биссектриса угла ANC. Так как прямые NT и 
совпадают, то и точки T и D — тоже. 
и четырехугольник MNPQ, образованный биссектрисами внутренних углов. Поскольку 
четырехугольник MNPQ — прямоугольник. Вычислим его стороны
и 
и 
отсюда 
то есть точка М ближе к точке В. Пусть 
Запишем следующие соотношения:
то есть точка М ближе к точке D. Пусть 
то треугольники BKM и MDE подобны по двум углам. Следовательно, 
По условию 
Отсюда получаем, что 
Таким образом, 
Это равенство эквивалентно тому, что CM — биссектриса треугольника BCE, то есть угла BCE.