Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой B₁D с опи­сан­ной окруж­но­стью тре­уголь­ни­ка BNM (см. рис.). До­ка­жем, что четырёхуголь­ник NDMK  — па­рал­ле­ло­грамм. Так как диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма в точке пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, от­сю­да будет сле­до­вать, что пря­мая B₁DK делит MN в от­но­ше­нии 1 : 1.

Сна­ча­ла до­ка­жем па­рал­лель­ность пря­мых MD и NK. Впи­сан­ные углы BB₁D и BCD опи­ра­ют­ся на одну дугу BAD, по­это­му Рав­ны­ми будут и впи­сан­ные углы BB₁K и BNK как опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу BMK, то есть по­это­му Это озна­ча­ет, что от­рез­ки MC и NK па­рал­лель­ны.

Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся па­рал­лель­ность MK и ND.

Четырёхуголь­ни­ки BADC и BMKN впи­сан­ные, по­это­му и Так как от­сю­да сле­ду­ет, что и, зна­чит, от­рез­ки MK и ND па­рал­лель­ны.

Итак, NDMK  — па­рал­ле­ло­грамм, и B₁D делит MN по­по­лам.

Ответ: 1 : 1.