сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Сколь­ки­ми спо­со­ба­ми можно рас­по­ло­жить на шах­мат­ной доске квад­рат из це­ло­го числа ее кле­ток?

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет n-по­зи­ци­он­ных дво­ич­ных чисел, в ко­то­рых нулей не мень­ше, чем еди­ниц?

в)  Вася и Оля до­го­во­ри­лись о встре­че между 17 и 18 ча­са­ми. Вася будет ждать Олю в те­че­ние 30 минут после сво­е­го при­хо­да, а Оля Васю  — 10 минут. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность их встре­чи, если каж­дый из них может по­дой­ти к на­зна­чен­но­му месту в любой мо­мент вре­ме­ни между 17 и 18 ча­са­ми?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Левая ниж­няя клет­ка квад­ра­та k\times k может на­хо­дить­ся в левая круг­лая скоб­ка 9 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка \times левая круг­лая скоб­ка 9 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка узлах сетки, т. е. для ее рас­по­ло­же­ния име­ют­ся левая круг­лая скоб­ка k минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ва­ри­ан­тов. Таким об­ра­зом, всего име­ют­ся

1 в квад­ра­те плюс \ldots плюс 8 в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 8 умно­жить на 9 умно­жить на 17, зна­ме­на­тель: конец дроби 6=204

ва­ри­ан­та.

 

Ответ: 204 спо­со­ба.

 

б)  Дво­ич­ных чисел, в ко­то­рых нулей не мень­ше, чем еди­ниц, столь­ко же, сколь­ко таких чисел, в ко­то­рых нулей не боль­ше, чем еди­ниц (за­ме­на 0\mapsto 1, 1\mapsto 0). Если n не­чет­но, то на­бо­ры этих типов не сов­па­да­ют, по­это­му ис­ко­мые на­бо­ры со­став­ля­ют по­ло­ви­ну всех n-по­зи­ци­он­ных дво­ич­ных чисел и их дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 в сте­пе­ни n =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . При чет­ном n по­лу­ча­ем дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни n плюс C_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , так как нужно учесть число n  — по­зи­ци­он­ных чисел, в ко­то­рых нулей столь­ко же, сколь­ко еди­ниц.

 

Ответ: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка при не­чет­ном n и 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби C_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка при чет­ном.

 

в)   Обо­зна­чим через 17 плюс x время при­хо­да Васи, а 17 плюс y  — Оли, x, y при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Из усло­вия за­да­чи сле­ду­ет, что они встре­тят­ся, если x мень­ше или равно y мень­ше или равно x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби или y мень­ше или равно x мень­ше или равно y плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , т. е. если x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно y мень­ше или равно x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

На ри­сун­ке за­штри­хо­ва­но мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют ука­зан­ным не­ра­вен­ствам. Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна от­но­ше­нию пло­ща­ди за­штри­хо­ван­ной части квад­ра­та к пло­ща­ди всего квад­ра­та, от­ку­да и по­лу­ча­ем ответ.

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 36 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024