а) Сколькими способами можно расположить на шахматной доске квадрат из целого числа ее клеток?
б) Сколько существует n-позиционных двоичных чисел, в которых нулей не меньше, чем единиц?
в) Вася и Оля договорились о встрече между 17 и 18 часами. Вася будет ждать Олю в течение 30 минут после своего прихода, а Оля Васю — 10 минут. Какова вероятность их встречи, если каждый из них может подойти к назначенному месту в любой момент времени между 17 и 18 часами?
Решение. а) Левая нижняя клетка квадрата может находиться в узлах сетки, т. е. для ее расположения имеются вариантов. Таким образом, всего имеются
варианта.
Ответ: 204 способа.
б) Двоичных чисел, в которых нулей не меньше, чем единиц, столько же, сколько таких чисел, в которых нулей не больше, чем единиц (замена ). Если n нечетно, то наборы этих типов не совпадают, поэтому искомые наборы составляют половину всех n-позиционных двоичных чисел и их При четном n
Ответ: при нечетном n и при четном.
в) Обозначим через время прихода Васи, а — Оли, Из условия задачи следует, что они встретятся, если или
На рисунке заштриховано множество точек, координаты которых удовлетворяют указанным неравенствам. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной части квадрата к площади всего квадрата, откуда и получаем ответ.
Ответ:
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
---|---|
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |