сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 27 № 948
i

а)  Изоб­ра­зи­те на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты  левая круг­лая скоб­ка x, y пра­вая круг­лая скоб­ка ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ству

x в квад­ра­те y плюс xy в квад­ра­те мень­ше или равно 2xy.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние  тан­генс x= ко­си­нус x.

в)  По­ка­жи­те, не при­бе­гая к по­мо­щи мик­ро­каль­ку­ля­то­ра, что

2,25 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 5 мень­ше 2,\!5.

г)  В тра­пе­ции ABCD из­вест­ны длины двух сто­рон: AB  =  15 см, AD  =  5 см. Най­ди­те длины двух дру­гих сто­рон этой тра­пе­ции, если одна из диа­го­на­лей делит ее на два тре­уголь­ни­ка рав­ной пло­ща­ди.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

a) Имеем: x в квад­ра­те y плюс xy в квад­ра­те минус 2xy=xy левая круг­лая скоб­ка x плюс y минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0. По­лу­чен­ное урав­не­ние за­да­ет объ­еди­не­ние осей ко­ор­ди­нат и пря­мой x плюс y минус 2=0, раз­би­ва­ю­щих плос­кость на семь об­ла­стей, каж­дая из ко­то­рых или це­ли­ком вхо­дит в ре­ше­ние не­ра­вен­ства, или нет (см. ре­ше­ние за­да­чи 1 в раз­де­ле Ло­ги­ка, гео­мет­рия и ана­лиз в ал­геб­ра­и­че­ских за­да­чах).

Ответ: см. рис.

 

б)  Пе­ре­пи­шем урав­не­ние в виде

 дробь: чис­ли­тель: синус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби = ко­си­нус x рав­но­силь­но синус x= ко­си­нус в квад­ра­те x рав­но­силь­но синус x=1 минус синус в квад­ра­те x.

(при усло­вии  ко­си­нус x не равно 0). Обо­зна­чим  синус x=t, тогда

t=1 минус t в квад­ра­те рав­но­силь­но t в квад­ра­те плюс t минус 1=0 рав­но­силь­но t= дробь: чис­ли­тель: минус 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Если  синус x= дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то x= арк­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 Пи k или x= Пи минус арк­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z . Урав­не­ние  синус x= дробь: чис­ли­тель: минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби не имеет кор­ней, по­сколь­ку  дробь: чис­ли­тель: минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше минус 1.

 

Ответ: x= арк­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 Пи k или x= Пи минус арк­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

 

в)  Умно­жив на 4, по­лу­чим не­ра­вен­ства 9 мень­ше 4 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 5 мень­ше 10, ко­то­рые верны, по­сколь­ку

2 в сте­пе­ни 9 =512 мень­ше 625=5 в сте­пе­ни 4 мень­ше 1024=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 10 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г) По­сколь­ку вы­со­ты тре­уголь­ни­ков (см. рис.), опу­щен­ные на па­рал­лель­ные сто­ро­ны тра­пе­ции, равны, то из ра­вен­ства пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство их ос­но­ва­ний, зна­чит, ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм, по­это­му BC  =  5 см и CD  =  15 см.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.