Даны сто квадратных трехчленов. Оказалось, что графики любых двух из них имеют ровно одну общую точку, однако графики любах трех из них общей точки не имеют. Докажите, что как минимум у пятидесяти из этих трехчленов старшие коэффициенты совпадают.
Если графики двух квадратных трёхчленов имеют ровно одну общую точку, значит, разность этих трёхчленов имеет ровно один корень, то есть она либо линейная функция, либо полный квадрат.
Рассмотрим 3 квадратных трёхчлена f, g и h с различными старшими коэффициентами. Их разности не могут быть линейными функциями. Пусть
Тогда
Этот трёхчлен тоже должен иметь единственный корень.
Если числа a и b одного знака, то
во всех точках, за исключением случая, когда 
Если числа a и b одного знака, то
в точках 
и 
принимает значения разных знаков, то есть точно имеет 2 корня (если только и опять же не равны). Значит, 
и
т. е. 
имеет корень в той же точке, что и 
и 
т. е. графики трёхчленов f, g и h имеют одну общую точку. Противоречие.
Значит, таких трёх трёх членов не существует, то есть возможных значений старший коэффициентам только два. Следовательно, хотя бы у половины трёхчленов старший коэффициент одинаковый.