Если гра­фи­ки двух квад­рат­ных трёхчле­нов имеют ровно одну общую точку, зна­чит, раз­ность этих трёхчле­нов имеет ровно один ко­рень, то есть она либо ли­ней­ная функ­ция, чего не может быть по усло­вию, так как стар­шие ко­эф­фи­ци­ен­ты трёхчле­нов раз­лич­ны, либо пол­ный квад­рат.

Рас­смот­рим 3 квад­рат­ных трёхчле­на f, g и h. Пусть Тогда

Этот трёхчлен тоже дол­жен и меть един­ствен­ный ко­рень.

Если числа a и b од­но­го знак а, то

во всех точ­ках, за ис­клю­че­ни­ем слу­чая, когда Если числа a и b од­но­го знака, то

в точ­ках и при­ни­ма­ет зна­че­ния раз­ных зна­ков, то есть точно имеет 2 корня (если толь­ко и опять же не равны).

Зна­чит,

т. е. имеет ко­рень в той же точке, что и и т. е. гра­фи­ки трёхчле­нов и h имеют одну общую точку. Под­став­ляя вме­сто h любой дру­гой трёхчлен из дан­но­го на­бо­ра, по­лу­ча­ем, что его гра­фик про­хо­дит через общую точку гра­фи­ков f и g, зна­чит, гра­фи­ки всех трёхчле­нов имеют общую точку.