сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те ко­ли­че­ство троек на­ту­раль­ных чисел (a, b, c), таких, что a, b, c при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1,13 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , и a < b, a < c. По­ря­док чисел в трой­ке важен   то есть, на­при­мер, трой­ки (1, 2, 3) и (1, 3, 2) мы счи­та­ем раз­ны­ми.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим за­да­чу в общем виде, когда a, b, c при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1, n пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Если a  =  1, то b может при­нять (n − 1) зна­че­ние, и c может при­нять (n − 1) зна­че­ние. Всего  левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ва­ри­ан­тов. Если a  =  2, то b может при­нять (n − 2) зна­че­ний, и c может при­нять (n − 2) зна­че­ний. Всего  левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ва­ри­ан­тов. Ана­ло­гич­но для по­сле­ду­ю­щих зна­че­ний a : если a  =  k, то b и c могут при­нять по  левая круг­лая скоб­ка n минус k пра­вая круг­лая скоб­ка зна­че­ний, всего  левая круг­лая скоб­ка n минус k пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ва­ри­ан­тов. Когда a=n минус 1, то для b и c остаётся по од­но­му ва­ри­ан­ту, а когда a  =  n, то ва­ри­ан­тов нет. Таким об­ра­зом, общее число ва­ри­ан­тов равно

 1 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те плюс 3 в квад­ра­те плюс \ldots плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка n левая круг­лая скоб­ка 2 n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Ответ: 650.