РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 915 Добавить в вариант

На плоскости по клеточкам нарисовали три прямоугольника (не являющиеся квадратами) и один квадрат QRSC так, что в итоге получилась фигура, схематически изображенная на рисунке. Стороны всех четырех прямоугольников меньше 7.

Известно, что площадь прямоугольника ABCD равна 33 клеткам. Найдите, чему равна площадь закрашенной фигуры, если известно, что AP < QR.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что каждый из изображенных отрезков имеет длину не меньше 1. Тогда $S_A B C D=A B умножить на B C=33,$ откуда либо $A B=3,$ $B C=11,$ либо наоборот $A B=11,$ $B C=3 .$ (варианты $33 \times 1$ и $1 \times 33$ не подходят, так как AB хотя бы две клетки, а BC хотя бы три). Вариант $A B=11,$ $B C=3$ также невозможен, потому что получается, что $B R=R S=S C=1,$ откуда $P Q=S C,$ что противоречит условию.

Значит, $A B=3$ и $B C=11 .$ Опять получаем 2 случая: либо $B P=2,$ $A P=1,$ либо $B P=1,$ $A P=2 .$

Рассмотрим первый из этих случаев. $B R=P Q не равно q A P=1,$ иначе левый верхний прямоугольник является квадратом. $B P=Q R=2,$ следовательно, $B R плюс S C=9 .$ Кроме того, $B R=P Q меньше S C .$ Значит, либо $B R=3,$ $S C=6,$ либо $B R=4,$ $S C=5 .$ Тогда площадь закрашенной фигуры равна либо

$S_A B C D минус B P умножить на B R минус A P умножить на S C=33 минус 2 умножить на 3 минус 1 умножить на 6=21,$

либо

$S_A B C D минус B P умножить на B R минус A P умножить на S C=33 минус 2 умножить на 4 минус 1 умножить на 5=20 .$

Второй случай $B R=P Q не равно q A P=2,$ иначе левый верхний прямоугольник является квадратом. $B P=Q R= 1,$ следовательно, $B R плюс S C=10.$ Кроме того, $B R=P Q меньше S C меньше 7.$ значит, $B R=4,$ $S C=6,$ Тогда площадь закрашенной фигуры равна либо

$S_A B C D минус B P умножить на B R минус A P умножить на S C=33 минус 1 умножить на 4 минус 2 умножить на 6=17 .$

Ответ: 17, 20 или 21.

Аналоги к заданию № 904: 915 Все

Открытая олимпиада школьников, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Олимпиадная геометрия. Раскраски

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь