РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8820 Добавить в вариант

Дан 80-угольник A₁A₂...A₈₀, такой, что сумма длин четных сторон не равна сумме длин нечетных сторон (то есть

$A_1 A_2 плюс A_3 A_4 плюс умножить на s плюс A_79 A_80 не равно q A_2 A_3 плюс A_4 A_5 плюс умножить на s плюс A_80 A_1 правая круглая скобка .$

Докажите, что не существует такой бесконечной последовательности точек X₀, X₁, X₂, ... на сторонах этого многоугольника, что точка X₀ лежит на стороне A₈₀A₁ и для любого целого $k больше или равно 0$ точка $X_80 k плюс 1$ лежит на стороне A₁A₂, точка $X_80 k плюс 2$   — на стороне A₂A₃, ..., точка $X_80 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка$   — на стороне A₈₀A₁, причем

$A_1 X_80 k=A_1 X_80 k плюс 1,$ $A_2 X_80 k плюс 1=A_2 X_80 k плюс 2,$ $\ldots,$ $A_80 X_80 k плюс 79=A_80 X_80 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка .$

There is a polygon A₁A₂...A₈₀ such that sum of its odd-numbered sides is not equal to sum of evennumbered sides

$левая круглая скобка A_1 A_2 плюс A_3 A_4 плюс умножить на s плюс A_79 A_80 не равно q A_2 A_3 плюс A_4 A_5 плюс умножить на s плюс A_80 A_1 правая круглая скобка .$

Prove that it's impossible to construct an infinite sequence X₀, X₁, X₂, ... of points on sides of the polygon (point X₀ lies on A₈₀A₁ and for every non-negative integer k point $X_80 k плюс 1$ lies on A₁A₂, point $X_80 k плюс 2$ lies on A₂A₃, ..., point $X_80 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка$ lies on A₈₀A₁) such that

Спрятать решение

Решение.

Пусть последовательность X₀, X₁, X₂, ... построенная по описанным правилам, существует. Аналогично задаче №8808 для 7−9 классов, получим

$\left|A_0 X_2 m|= левая круглая скобка \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус \Sigma_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус 1 плюс x правая круглая скобка ,$

$\left|A_0 X_4 m|= левая круглая скобка \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус 1 плюс \left|A_0 X_2 m| правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 левая круглая скобка \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус 1 правая круглая скобка плюс x правая круглая скобка ,$

$\ldots$

$\left|A_0 X_k m|= левая круглая скобка k левая круглая скобка \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус 1 правая круглая скобка плюс x правая круглая скобка k больше или равно 0$

$\ldots$

Поскольку $\sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i не равно q \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус 1,$ имеем

$\left|k левая круглая скобка \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус 1 правая круглая скобка плюс x| больше \left|A_0 A_2 m|$

для $k больше или равно 0,$ то есть точка X_km лежит вне стороны A₀A_2m  — противоречие с предположением, что все точки последовательности лежат на сторонах многоугольника. Таким образом, описанной последовательности X₀, X₁, X₂, ... не существует.

Let's suppose that there exists an infinite seqence X₀, X₁, X₂, ... which is built as described. Like in task 8808 (7−9 degree) we get

$\ldots$

Because of $\sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i не равно q \sum_i=1 в степени левая круглая скобка i=m правая круглая скобка a_2 i минус 1$ we have

for some $k больше или равно 0,$ so the point X_km lies outside of the side A₀A_2m which contradicts with our assumption. Thus, there is no infinite sequence X₀, X₁, X₂, ... built by the rules.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Описание системы баллов за решение задач

I. Первичная оценка решения каждой задачи выставляется по 5-балльной шкале, где

0 — задача не решена или решена неверно из-за грубых ошибок в рассуждениях;

1 — задача решена неверно, но присутствует плодотворная идея, применимая для решения задачи;

2 — задача решена неверно, но присутствует и частично применена плодотворная идея, достигнут некоторый прогресс в решении;

3 — задача решена частично либо полностью, но с существенными арифметическими ошибками при наличии правильного хода рассуждений;

4 — задача решена верно, но с незначительными ошибками;

5 — задача полностью решена.

II. Для каждой задачи вычисляется средний балл (M) по результатам ее решения всеми участниками.

III. Весовой коэффициент (K) каждой задачи вычисляется по простой формуле:

$K=10 минус 1,8 умножить на M .$

Таким образом, весовой коэффициент задачи может изменяться в пределах от 1 до 10 в зависимости от среднего балла участников за эту задачу.

IV. Балл каждого участника за каждую задачу умножается на весовой коэффициент этой задачи.

V. Баллы, набранные участником, суммируются с округлением до ближайшего целого в большую сторону.

Specification of the score system

I. Pre-score of the solution to each problem is set on a 5-point scale, where

0 — a task was not solved or solved incorrectly due to gross reasoning blunder;

1 — a task was solved incorrectly but there is a fruitful idea that can be used to solve the task;

2 — a task was solved incorrectly but a fruitful idea is present and partially applied, some progress has been made in the solution;

3 — a task was solved partially or completely but with significant arithmetic errors in the presence of the correct line of reasoning;

4 — a task was solved correctly but with minor errors;

5 — a task was solved completely.

II. An average score (M) is calculated based on the results of all participants for each task.

III. The weighting factor (K) of each task is calculated using a simple formula:

$K=10 минус 1,8 умножить на M.$

Thus, the weighting coefficient of a task can vary from 1 to 10 , depending on the average score of the participants for this task.

IV. Each participant's score for each task is multiplied by the weighting factor of that task.

V. The points scored by the participant are summed and rounded up to the nearest integer.

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 11 класс, 1 тур (отборочный) 2 этап, 2021 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Произвольные многоугольники

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь