сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ре­ши­те урав­не­ние

арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та конец дроби = арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 4 x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Из усло­вия на об­ласть опре­де­ле­ния арк­си­ну­са вы­те­ка­ет, что

|x| мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Вы­чис­ляя синус от обеих ча­стей урав­не­ния и учи­ты­вая, что ко­си­нус арк­си­нус боль­ше 0, и, сле­до­ва­тель­но, синус арк­си­нус A=A, и ко­си­нус арк­си­нус A= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус A в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­ча­ем

дробь: чис­ли­тель: 2 x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 9 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 3 x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 4 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 4 x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Пе­ре­но­ся все в левую часть урав­не­ния, упро­щая и вы­но­ся общим мно­жи­тель за скоб­ки, имеем

дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 минус 9 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 минус 4 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Из дан­но­го урав­не­ния сле­ду­ет, что одно ре­ше­ние урав­не­ния есть x=0, а осталь­ные яв­ля­ют­ся кор­ня­ми урав­не­ния

2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 минус 9 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 минус 4 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та .

Из усло­вия на об­ласть опре­де­ле­ния арк­си­ну­са сле­ду­ет, что все под­ко­рен­ные вы­ра­же­ния по­ло­жи­тель­ны. По­сколь­ку обе части урав­не­ния по­ло­жи­тель­ны, то их можно воз­ве­сти в квад­рат

4 левая круг­лая скоб­ка 15 минус 9 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 15 минус 4 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 15 минус 9 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 9 левая круг­лая скоб­ка 15 минус 4 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =240 .

Пе­ре­но­ся все кроме корня в пра­вую часть урав­не­ния, имеем

12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 15 минус 4 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 15 минус 9 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =72 x в квад­ра­те плюс 45.

Воз­во­дя обе части урав­не­ния в квад­рат еще раз, по­лу­ча­ем

144 левая круг­лая скоб­ка 15 минус 4 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 15 минус 9 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =5184 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 6480 x в квад­ра­те плюс 2025 \Rightarrow 256 x в квад­ра­те =225.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет еще два корня x=\pm дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби .

Про­вер­ка. Про­ве­ря­ем, что левая часть урав­не­ния при дан­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та лежит в про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Для этого вы­чис­ля­ем ко­си­нус левой части

ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 4 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 9 x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 6 x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби =
= = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 60, зна­ме­на­тель: 256 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 135, зна­ме­на­тель: 256 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: 90, зна­ме­на­тель: 256 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 14 умно­жить на 11, зна­ме­на­тель: 256 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 90, зна­ме­на­тель: 256 конец дроби боль­ше 0.

По­сколь­ку зна­че­ние ко­си­ну­са по­ло­жи­тель­но, то все най­ден­ные числа яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем за­да­ния.

 

Ответ: левая фи­гур­ная скоб­ка 0; \pm дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­нияБалл
Вер­ное ре­ше­ние без су­ще­ствен­ных не­до­че­тов+
В целом за­да­ча ре­ше­на, хотя и с не­до­че­та­ми+ −
За­да­ча не ре­ше­на, но есть за­мет­ное про­дви­же­ние− +
За­да­ча не ре­ше­на, за­мет­ных про­дви­же­ний нет−
За­да­ча не ре­ша­лась0

Аналоги к заданию № 7425: 7441 Все

Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024