сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ре­ши­те урав­не­ние

арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби = арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 5 x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Из усло­вия на об­ласть опре­де­ле­ния арк­си­ну­са вы­те­ка­ет, что

|x| мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но x в квад­ра­те мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1344, зна­ме­на­тель: 275 конец дроби . \qquad левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка

Вы­чис­ляя синус от обеих ча­стей урав­не­ния и учи­ты­вая, что ко­си­нус арк­си­нус t боль­ше 0 и, сле­до­ва­тель­но, синус левая круг­лая скоб­ка арк­си­нус t пра­вая круг­лая скоб­ка =t, и ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка арк­си­нус t пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус t в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­ча­ем

дробь: чис­ли­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 11 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 16 умно­жить на 21 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 11 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на 21 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 5 x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Пе­ре­но­ся все в левую часть урав­не­ния, упро­щая и вы­но­ся общим мно­жи­тель за скоб­ки, имеем

дробь: чис­ли­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 умно­жить на 21 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 336 минус 11 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 84 минус 11 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минус 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Из дан­но­го урав­не­ния сле­ду­ет, что или x=0 (ко­то­рый, оче­вид­но, под­хо­дит), или x яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 336 минус 11 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 84 минус 11 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та .

Из усло­вия (*) сле­ду­ет, что все под­ко­рен­ные вы­ра­же­ния по­ло­жи­тель­ны. По­сколь­ку обе части урав­не­ния по­ло­жи­тель­ны, то их можно воз­ве­сти в квад­рат

336 минус 11 x в квад­ра­те плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 336 минус 11 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 84 минус 11 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 84 минус 11 x в квад­ра­те =525.

Пе­ре­но­ся всё кроме корня в пра­вую часть урав­не­ния, имеем

2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 336 минус 11 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 84 минус 11 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =22 x в квад­ра­те плюс 105.

Воз­во­дя ещё раз обе части урав­не­ния в квад­рат, по­лу­ча­ем

4 левая круг­лая скоб­ка 336 минус 11 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 84 минус 11 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =484 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4620 x в квад­ра­те плюс 11 , 025 \Rightarrow 23 100 x в квад­ра­те =101 871.

Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет ещё два воз­мож­ных корня x=\pm дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

Про­вер­ка. Про­ве­ря­ем, что левая часть урав­не­ния при дан­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та лежит в про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Для этого вы­чис­ля­ем ко­си­нус левой части

ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 11 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на 21 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 11 x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 16 умно­жить на 21 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 11 x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 8 умно­жить на 21 конец дроби =
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 11 умно­жить на 21, зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на 100 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 11 умно­жить на 21, зна­ме­на­тель: 16 умно­жить на 100 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: 11 умно­жить на 21, зна­ме­на­тель: 8 умно­жить на 100 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 13 умно­жить на 37, зна­ме­на­тель: 800 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 11 умно­жить на 21, зна­ме­на­тель: 800 конец дроби боль­ше 0.

По­сколь­ку зна­че­ния ко­си­ну­са по­ло­жи­тель­но, а левая часть лежит в про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то она лежит в про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Зна­чит, все най­ден­ные числа яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем за­да­ния.

 

Ответ: левая фи­гур­ная скоб­ка 0; \pm дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­нияБалл
Вер­ное ре­ше­ние без су­ще­ствен­ных не­до­че­тов+
В целом за­да­ча ре­ше­на, хотя и с не­до­че­та­ми+ −
За­да­ча не ре­ше­на, но есть за­мет­ное про­дви­же­ние− +
За­да­ча не ре­ше­на, за­мет­ных про­дви­же­ний нет−
За­да­ча не ре­ша­лась0

Аналоги к заданию № 7425: 7441 Все

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024