РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7434 Добавить в вариант

Докажите, что для каждого натурального числа n число $7 в степени левая круглая скобка 2 n правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка$ делится на 13.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

Воспользуемся биномом Ньютона и сгруппируем слагаемые, в которых есть 39:

$левая круглая скобка 39 плюс 10 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 12 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =39 A плюс 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 12 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =39 A плюс 13 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка .$

Поскольку каждое слагаемое делится на 13, всё число делится на 13.

Комментарий.

То же самое решение можно изложить на языке сравнений:

$7 в степени левая круглая скобка 2 n правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =49 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 12 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка \equiv 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 12 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =13 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка \equiv 0 левая круглая скобка \bmod 13 правая круглая скобка .$

Приведем другое решение.

Докажем утверждение задачи для целых неотрицательных n индукцией по n.

База. Если $n=0,7 в степени левая круглая скобка 2 n правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =13$ делится на 13.

Переход. Предположим, что при $n=k$ число

делится на 13. Докажем, что при $n=k плюс 1$ число

также делится на 13. Заметим, что

$7 в степени левая круглая скобка 2 k плюс 2 правая круглая скобка плюс 12 умножить на 10 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка =39 умножить на 7 в степени левая круглая скобка 2 k правая круглая скобка плюс 10 умножить на левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка 2 k правая круглая скобка плюс 12 умножить на 10 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Первое слагаемое делится на 13, так как делится на 39, а второе делится на 13 по предположению индукции. Следовательно, вся сумма делится на 13.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Аналоги к заданию № 7415: 7434 Все

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости, Методы алгебры. Метод математической индукции

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь