РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7415 Добавить в вариант

Докажите, что для каждого натурального числа n число $5 в степени левая круглая скобка 2 n правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка$ делится на 11.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

Воспользуемся биномом Ньютона и сгруппируем все слагаемые, в которых есть 22:

$левая круглая скобка 22 плюс 3 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 n правая круглая скобка плюс 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =22 A плюс 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =22 A плюс 11 умножить на 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка .$

Поскольку каждое слагаемое делится на 11, то и все число делится на 11.

Комментарий.

То же самое решение можно изложить на языке сравнений:

$5 в степени левая круглая скобка 2 n правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =25 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка \equiv 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =11 умножить на 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка \equiv 0 левая круглая скобка \bmod 11 правая круглая скобка .$

Приведем другое решение.

Докажем утверждение задачи для целых неотрицательных n индукцией по n.

База. Если $n=0,$ то

делится на 11.

Переход. Предположим, что при $n=k$ число

делится на 11, и докажем, что при $n=k плюс 1$ число

также делится на 11.

Заметим, что

$5 в степени левая круглая скобка 2 k плюс 2 правая круглая скобка плюс 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка =3 умножить на левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 2 k правая круглая скобка плюс 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 22 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2 k правая круглая скобка .$

Первое слагаемое в правой части делится на 11 по предположению индукции, а второе  — потому что содержит множитель 22. Значит, и вся сумма делится на 11. Переход доказан.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Аналоги к заданию № 7415: 7434 Все

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости, Методы алгебры. Метод математической индукции

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь