На клетчатой доске 9 на 9 расположены 324 фишки. Соседними будем называть во-первых клетки, имеющие общую сторону, а во-вторых, две крайние клетки одной вертикали или горизонтали. Таким образом, у каждой клетки будет ровно 4 соседних.
За один ход разрешается взять 4 фишки, лежащие на одной клетке, и переложить их на 4 соседние клетки. При любой ли начальной расстановке фишек можно добиться того, чтобы на всех клетках оказалось поровну фишек.
I способ. Пронумеруем строки и столбцы числами от 0 до 10. Номера строки и столбца, в которых стоит фишка, будем называть её координатами.
Заметим, что при данной операции не меняется остаток от деления суммы всех координат всех фишек на 11. Изначально этот остаток можно сделать любым, например, можно все фишки собрать в клетке
II способ. Давайте заметим, что чётность количества фишек на главной диагонали не меняется: каждый раз либо с числом этих фишек ни чего не происходит, либо оно увеличивается на 2, либо уменьшается на 4.
В то же время в начальной ситуации количество фишек на диагонали может быть любым, в том числе нечётным.
Ответ: не при любой.