На числовой оси отмечено бесконечно много точек с натуральными координатами. Когда по оси катится колесо, каждая отмеченная точка, по которой проехало колесо, оставляет на нём точечный след. Докажите, что можно выбрать такое действительное R, что если прокатить по оси, начиная из нуля, колесо радиуса R, то на каждой дуге колеса величиной в 1° будет след хотя бы одной отмеченной точки.
Решение 1. Разделим колесо на 360 дуг и занумеруем их, начиная с точки O в порядке «прокатывания». Докажем индукцией по k, что можно выбрать окружность длины 360s, прокатив которую по прямой, мы получим следы внутри первых k дуг.
База (k = 1). Достаточно выбрать s, большее координаты первой отмеченной точки.
Шаг индукции. По предположению индукции найдётся sk, при котором следы оставлены на первых дугах. Пусть они оставлены точками с координатами 
Заметим, что незначительное изменение s не повлияет на ситуацию: те же точки оставят следы на тех же дугах. Пусть это происходит для всех 
Рассмотрим отмеченную точку с координатой 
большей всех 
а также 
Пусть
где m — целое число. Тогда 
Найдём такое 
чтобы точка 
оставила след на данном расстоянии (по окружности) 
от O (число t < 1 выберем так, чтобы этот след оказался на (k + 1)-й дуге окружности, соответствующей 
Иными словами,
откуда
где
Это значение подходит, поскольку
a
Решение 2. Пусть на числовой прямой отмечено бесконечное число натуральных точек t1, t2, t3, ... Докажем индукцией по n такое утверждение: для любого набора положительных чисел 
суммой 1 найдётся колесо такой длины S, что разделив его на дуги длин 
(именно в таком порядке) и запустив из 0 (поставив в 0 началом первой дуги), мы обязательно получим строго внутри каждой из дуг след какой-то отмеченной точки.
Для наглядности покрасим каждую дугу в свой цвет и прокатим колесо по прямой, считая, что каждая точка прямой окрашивается в цвет дуги, которая по точке проезжает. Тогда прямая разобьётся на отрезки n разных цветов, соответствующих дугам. Нам надо найти такую длину колеса, чтобы для каждого цвета нашлась отмеченная точка, попавшая внутрь отрезка этого цвета.
Сначала заметим, что если для данного набора нужное S найдено, то подойдёт также любое колесо чуть меньшей или чуть большей длины. В самом деле, колесо длины S соберёт по отметке на каждую дугу, пройдя определённое расстояние. Это соответствует тому, что некоторые отмеченные точки 
лежат на прямой каждая строго внутри отрезка своего цвета (цвета все различны). Небольшое изменение длины колеса соответствует гомотетии прямой с центром в 0 и коэффициентом, близким к 1. Ясно, что можно выбрать коэффициент гомотетии настолько близким к 1, что картина не изменится: все точки останутся внутри своих «растянутых» отрезков.
Перейдём к доказательству.
База n = 1 очевидна: можно взять колесо иррациональной или просто достаточно большой длины.
Шаг индукции. Пусть для всех наборов из n чисел утверждение доказано. Докажем его для набора 
Рассмотрим набор 
Для него нужное S найдётся. Рассмотрим момент, когда в каждой из дуг для этого набора образуется след от отмеченной точки. Это соответствует тому, что отмеченные точки лежат на прямой строго внутри отрезков n разных цветов, точка 
лежит на отрезке длины 
Если точка делит свой отрезок как раз в отношении 
увеличим немного S, чтобы все точки попали на свои же «растянутые» отрезки, но точка уже делила бы свой отрезок в другом отношении.
Точки попадут в отрезки разных цветов, и только отрезки одного, скажем, зелёного цвета (соответствующие одной из дуг 
пусть дуге 
), возможно, не содержат ни одной отмеченной точки.
Заметим, что есть сколь угодно большие отмеченные точки, на расстоянии не более чем S слева от которых есть зелёный отрезок. Пусть мы можем делать гомотетию с коэффициентом, не большим 
так, чтобы точки остались внутри своих «растянутых» отрезков.
Проедем колесом настолько большое расстояние K, чтобы колесо сделало целое число оборотов (последний окрашенный отрезок Z зелёный), уже собрало отметки на все дуги, кроме последней, чтобы 
было больше S, и чтобы на расстоянии не более S после точки K нашлась отмеченная точка 
Увеличим длину колеса, сделав гомотетию с коэффициентом 1 + x, где 
Тогда зелёный отрезок Z растянется, его новыми концами будут точки 
и 
соответственно. Очевидно, можно подобрать 
так, чтобы 
стало больше 
ведь 
но при этом больше на величину, меньшую 
Тогда будет меньше 
то есть точка попадёт на «растянутый» зелёный отрезок Z.