Пусть A, B, C  — по­сле­до­ва­тель­ные вер­ши­ны ше­сти­уголь­ни­ка, O  — точка внут­ри него, и пусть OA  =  OB  =  1 и OC  =  2.

Рис. 1

Рас­смот­рим дру­гую со­сед­нюю с A вер­ши­ну F. Тогда FABC  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция (см. рис. 1). Точка O лежит на общем се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре её ос­но­ва­ний FC и AB, по­это­му OF  =  O C  =  2. Но FC  =  2AB (в пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке глав­ная диа­го­наль в 2 раза боль­ше сто­ро­ны), от­ку­да тре­уголь­ни­ки AOB и FOC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 2. По­сколь­ку AB и FC па­рал­лель­ны и точка O лежит на диа­го­на­ли AC (и, ана­ло­гич­но, точка O лежит на диа­го­на­ли BF ). Тогда:

по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OBC.

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Рис. 2

Точка O лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к сто­ро­не AB. По­стро­им вне ше­сти­уголь­ни­ка рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABD (см. рис. 2). Ясно, что тогда OD  — се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку AB. Кроме того, так как то OD  — бис­сек­три­са внеш­не­го угла O тре­уголь­ни­ка BOC. Зна­чит, она пер­пен­ди­ку­ляр­на бис­сек­три­се OE угла BOC. В силу ра­вен­ства

точки A, O и C лежат на одной пря­мой. В тре­уголь­ни­ке ADC: а DC  =  2DA, от­ку­да угол DAC пря­мой, а