РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6706 Добавить в вариант

Let’s split the sequence of natural numbers into such groups: (1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15),… For every n > 0 let S_n be the sum of numbers in n ^th group. For instance let $S_n=4 плюс 5 плюс 6=15.$ Compute

$S_1 плюс S_3 плюс S_5 плюс ... плюс S_1999 плюс ... плюс S_n,$

where n is the last odd number not greater than N.

Разобьем ряд положительных целых чисел на группы следующим образом: (1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 5),… Для любого n > 0 пусть S_n  — сумма чисел в n-ой группе. Например, $S_n=4 плюс 5 плюс 6=15.$ Чему равна сумма всех S_n с нечетными индексами от 1 до N? То есть найдите сумму

$S_1 плюс S_3 плюс S_5 плюс ... плюс S_1999 плюс ... плюс S_n,$

где n  — последнее нечетное число не превосходящее N.

Спрятать решение

Решение.

The sum of all $S_k$ with odd indexes from 1 до $левая круглая скобка 2 n минус 1 правая круглая скобка$ is n⁴. Proof by induction with use of the problem 6691.

Сумма всех групп с нечетными индексами от 1 до $левая круглая скобка 2 n минус 1 правая круглая скобка$ равна n⁴. Доказательство по индукции с использованием задачи 6691.

Ответ: n⁴.

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 11 класс, 1 тур (отборочный) 2 этап, 2020 год

Классификатор: Методы алгебры. Метод математической индукции, Разное. Разбиения на пары и группы

Спрятать решение · Помощь